An Hand einiger Beispiele werden verschiedene Missbrauchsmöglichkeiten der deskriptiven und induktiven Statistik illustriert.

Explorative Datenanalysen liefern mächtige numerische und graphische Werkzeuge zur Darstellung und Interpretation von Daten. In diesem Artikel beschreiben die Autoren ihre Zusammenarbeit mit Schülern bei einem physikalischen Experiment mit statistischen Methoden.

Im Analysisunterricht lernen die Schüler, den Graphen zu einer gegebenen Zuordnungsvorschrift zu zeichnen. In diesem Beitrag wird die Umkehrung betrachtet: Zu einer gegebenen Punktmenge soll eine dazu passende Funktionsgleichung bestimmt werden. Die Behandlung von mehrdimensionalen Zufallsgrößen ist sinnvoll, da mit den Begriffen Regression und Korrelation bedeutende Mathematisierungsmuster zur Verfügung stehen. Hier können Schüler vor allem beim Sammeln, Darstellen und Auswerten des Datenmaterials, aber auch im Entdecken und Interpretieren von Zusammenhängen vielfältige Aktivitäten entwickeln.

Zuerst wird das klassische Simpsonparadoxon vorgestellt. Es folgt eine mathematische Analyse, unter welchen Bedingungen man mit diesem Paradoxon rechnen muss. Im dritten Absatz wird die 'Auflösung' des Paradoxons nach der Literatur referiert, darauf wird diese Auffassung in geändertem Kontext geprüft und eine allgemeinere Interpretation vorgeschlagen.

Plädiert wird für eine Statistikausbildung in den Naturwissenschaften, die genuin von den wissenschaftlichen Problemen herkommt und nicht für eine solche, die durch bereits vorgegebene Werkzeuge und Techniken bestimmt wird. Die Betonung liegt auf einem bedeutungsbezogenen Verstehen der statistischen Ansätze innerhalb des Kontextes der wissenschaftlichen Fragestellung. Der Beitrag schließt mit einer Anwendung dieser Argumentation auf eine Situation im Biologieunterricht der Jahrgangsstufe 10.

Es wird ein Projekt zum Schätzen des Umfangs einer Population vorgestellt, das unter Ausnutzung von Computergraphik das Verständnis für statistische Aussagen fördern soll. Es ergeben sich Fragestellungen, die auf die Probleme des Testens von Hypothesen und der Konstruktion von Konfidenzintervallen führen. Unterschiedliche experimentelle Vorgehensweisen werden miteinander verglichen. Anhand wiederholter Simulationen und der grafischen Darstellung von Schätzwerten können statistische Methoden in exemplarischer Weise erarbeitet und anschaulich interpretiert werden.

Es wird ein Algorithmus zur Berechnung von Binomialkoeffizienten angegeben, bei dem alle während der Rechnung auftretende Zwischenwerte ganzzahlig und unterhalb einer bestimmten Grenze sind. Dieser Algorithmus hilft Berechnungen bei Abzählproblemen oder bei zahlentheoretischen Fragestellungen.

Bei der Diskussion der Korrelation im Unterricht sind Beispiele von Datensätzen nützlich, die eine gegebene Korrelation besitzen. Dieser Beitrag beschreibt eine Methode, mit Hilfe von Spreadsheeds die zugehörigen Punktwolken zu zeichnen und 'Konfidenzgebiete' zu erhalten.

Die Öffentlichkeit hat keine klare Vorstellung von der Arbeit eines Statistikers. Häufig meint man, daß dieser nur Daten sammelt und zusammenfaßt. An einem Tag der Offenen Tür wollten wir durch ein Geschmacksexperiment das Interesse der Besucher anziehen und gleichzeitig einen Einblick in die Arbeit eines Statistikers in der Forschung geben.

Der übliche Zugang zur Statistik für Anfängerstudenten beginnt mit deskriptiven Kennziffern wie Mittelwerten. Das führt zu einem Mangel an Motivation. Studenten sollten dagegen schon sehr früh in die statistische Arbeitsweise eingeführt werden: Wie bekommt man die Information, die man sucht? Schematische Modelle für die zwei grundlegenden Arten von statistischer Untersuchung werden vorgestellt.

Beim Testen von Hypothesen stellt sich eine Diskrepanz ein zwischen den offiziellen Verfahren der Stochastik und den Fragen, die dem gesunden Menschenverstand einleuchten. Dieser Unterschied wird an einem überschaubaren Beispiel ausführlich erörtert. Schließlich werden Folgerungen für den Unterricht gezogen.

Die folgende Unterrichtssequenz versucht, an intuitive Vorerfahrungen anknüpfend, auf der Klassenstufe 9/10 in einige Grundgedanken beurteilender Statistik einzuführen. Wir untersuchen experimentell die Größe von Zufallsschwankungen und studieren quantitativ, wie diese Schwankungen mit größer werdendem Versuchsumfang abnehmen. Die 'griffige' Gesetzmäßigkeit: 'Die Schwankungsbreite ist umgekehrt proportional zur Wurzel aus dem Versuchsumfang' ist ein Anwendungsbeispiel für Potenzfunktionen und stellt eine Brücke zur Algebra der Jahrgangsstufe her. Verbindet man andererseits dieses Gesetz mit sensorischen Tests (schmeckst Du, siehst Du, hörst Du einen Qualitätsunterschied zwischen ...?), so wird sich kaum eine Lerngruppe der Faszination entziehen, die mit Entscheidungen unter Unsicherheit und den Grundgedanken beurteilender Statistik verbunden sein kann.

Herr Buth hat Recht, wenn er feststellt, daß die klassische beurteilende Statistik nicht die Fragen beantwortet, die der 'gesunde Menschenverstand' stellt: Sie liefert keine Wahrscheinlichkeiten für die Gültigkeit von Hypothesen. Offenbar ist das Bedürfnis nach solchen Wahrscheinlichkeiten aber so groß, ... Erst in einem Bayesschen Rahmen haben die intuitiv so naheliegenden Wahrscheinlichkeiten für die Gültigkeit von Hypothesen einen (zentralen) Platz. Ich kenne bisher kein besseres Hilfsmittel, um im Stochastikunterricht eine Brücke zwischen dem gesunden Menschenverstand und beurteilender Statistik zu schlagen. Ein Artikel zum 1/Wurzel n-Gesetz (in diesem Heft) soll skizzieren, wie man - auch ohne die Bayessche Sicht - im Anfangsunterricht sinnvoll mit Fragen der Testtheorie umgehen kann.

Ich habe diesen Artikel in der Ich-Form geschrieben, weil ich den Weg darstellen wollte, der zum Ergebnis führte. In der Tat, das Ergebnis ist nicht so wichtig; es geht mir darum, zu zeigen, wie der Computer zu einem wesentlichen Teil des Denkprozesses werden kann. Es war gar kein eigentliches Problem am Anfang. Ich arbeitete mit einem Kollegen ... und spielte mit einem Programm namens RUN. Dieses simuliert eine Serie von Münzwürfen, zählt die Zahl der Runs von Kopf und Zahl aus ... Ich hatte, wie so manche andere auch, das Begleitmaterial nicht sehr ausführlich studiert. Ich versuchte also, das Ergebnis genau zu interpretieren. ...

Im folgenden werden Bedingungen für die Verwendung der Poissonverteilung als Näherung für die Binomialverteilung angegeben. Der Beitrag soll motivieren, mit Schülern aus Leistungskursen die Zusammenhänge zwischen diesen Verteilungen zu erörtern und auf die Bedingungen einzugehen, unter denen diese Näherung brauchbar ist.

Die heftigen Diskussionen rund um das Drei-Türen-Problem sind nicht neu. Schon 1975 waren sie in leicht veränderter Form Gegenstand von hochemotionalen Auseinandersetzungen. Oft überzeugt nicht einmal ein Simulationsexperiment. Die kombinatorische Lösung gibt einen Überblick über alle Möglichkeiten, aber überzeugt auch nicht. Was macht Beispiele aus der elementaren Wahrscheinlichkeitsrechnung so schwierig, daß selbst nach Darstellung der formal richtigen Lösung so viele Zweifel bestehen bleiben?

Mit dem ansteigenden Interesse an Unterricht in Stochastik auf der Primar- und Sekundarstufe geht eine Zunahme an didaktischer Forschung einher. Die Autorin bespricht eine Reihe von jüngsten Ergebnissen aus laufenden Projekten.

Der Artikel beschreibt einen der Vorgänger der modernen Statistik: Die Tradition der Staatenkunde oder der Statistiken deutscher Universitäten.

über längere Zeiträume notierte Monatsmittelwerte der bodennahen Lufttemperatur werden nach verschiedenen Fragestellungen aufbereitet und mit Hilfe der Zeitreihenanalyse ausgewertet. Wir gehen bei der Analyse von einem additiven Modell aus und benutzen zur Bestimmung der glatten Komponente bzw. des Trends die Methode der gleitenden Durchschnitte.

An Hand eines einfachen Beispiels wird gezeigt, dass jedes Integral als Erwartungswert einer reellen Zufallsgröße aufgefasst werden kann. Neben einer asymptotischen Fehlerabschätzung werden 4 Methoden zur Reduktion der Varianz diskutiert (Verfahren der wesentlichen Stichprobe, Geschichtete und antithetische Zufallszahlen, Kontrollvariaten-Methode).

Die Benutzung von Mikrocomputern befähigt Studenten, Eigenschaften eines einfachen Modells über die Ausbreitung von Epidemien zu untersuchen, das auf der Binomialverteilung beruht.

Tischrechner und programmierbare Taschenrechner, die von Jahr zu Jahr leistungsfähiger werden, können Inhalte und Ziele des Mathematikunterrichts beeinflussen. Dies gilt auch für die Normalverteilung, die im Stochastikunterricht im wesentlichen bei zwei Themenkreisen auftaucht: Beim Zentralen Grenzwertsatz und beim Hypothesentesten; als normale Approximation von Verteilungen und Testgrößen ist sie nach Meinung des Autors durch die Computer überflüssig geworden.

Riemers Arbeiten zum Stochastikunterricht weisen eben jene Kombination aus Sensibilität für Probleme des Unterichtsalltags, Fähigkeit zur Analyse der relevanten Faktoren, fachliche Kompetenz und Phantasie zur Entwicklung praktikabler Lehrsequenzen auf, die den "Schuldidaktiker" auszeichnet. ... diese Kapitel durch ein "geistiges Band" zusammengehalten werden .. : durch den Versuch, nämlich, "die ungenetische Trennung zwischen Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik zu überwinden", indem man "genuin statistische Gedankengänge schon von den ersten Unterrichtsstunden an zu einem Bestandteil des Stochastikunterrichts" macht. ...
Trotz .. Einschränkungen: Ein lesenswertes, weil gründlich konzipiertes, klar geschriebenes und dabei originelles, innovatives und herauforderndes Buch.

Ausgehend von 12 Situationen der Ungewißheit .. führt der Autor .. den Leser an grundlegende Begriffe und Denkweisen der Bayes-Theorie heran. ...
Die Bedeutung und Stärke des Buches sehe ich in der geschlossenen, verständlichen und konsequenten Darstellung des subjektivistischen Zugangs zur Stochastik und seiner deutlichen Abgrenzung von der sogenannten "klassischen" Methodik. ... Das Buch ist ... geeignet, bereits Lehrerstudenten bei entsprechenden Begleitveranstaltungen einen Einblick in die Bayessche Statistik zu geben, ohne daß sie vorher die mathematische Statistik im klassischen Sinne studiert haben müssen.
Seinen besonderen Wert hat es aber für den Didaktiker und den unterrichtenden Lehrer, die es zwingt, gewohnte Denk- und Betrachtungsweisen kritisch zu prüfen, tiefer zu verstehen, anzureichern und zu revidieren.

Erörterungen und Lösungen zum Problem der Mittelwerte und zum Drei-Türen-Problem.

Bericht über eine Sitzung des Arbeitskreises "Stochastik in der Schule" der GDM.

Anhand konkreter Aufgaben aus verschiedenen Schulbüchern zur Stochastik wird die Problematik der Existenz unabhängiger Ereignisfolgen in diskreten Wahrscheinlichkeitsmodellen diskutiert. Insbesondere wird eine in diskreten Modellen gültige, einfache Abschätzung für die maximale Anzahl unabhängiger, gleichwahrscheinlicher Ereignisse angegeben. Hieraus folgt, dass viele der in der Schule im Zusammenhang mit Wartezeitproblemen gestellten Aufgaben im dort vorgegebenen Rahmen mathematisch nicht korrekt behandelbar sind. Zu einigen Aufgaben werden deshalb leichte Modifikationen vorgestellt, die diese Schwierigkeiten umgehen.

Schiffe-Versenken ist ein beliebtes Spiel, welches oft von Schülern unter der Schulbank gespielt wird. In dieser Arbeit soll eine Variante vorgestellt werden, welche dazu führen mag, dass es auf der Schulbank in Leistungskursen für Mathematik Eingang findet und dann dazu dient, die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der Spieltheorie zu vermitteln.

Am Institut für Didaktik der Mathematik der Universität Dortmund gibt es alle Jahre ein außergewöhnliches Ereignis zu feiern: Drei von insgesamt fünfzehn Institutsmitgliedern haben am 28 Juli Geburtstag. Die Frage, mit welcher Wahrscheinlichkeit in einer Gruppe von n Personen zwei (oder mehr) am gleichen Tag Geburtstag haben, ist ein Standardproblem für den Stochastikunterricht. Das Zusammentreffen dreier Geburtstage legt es nahe zu untersuchen, mit welcher Wahrscheinlichkeit drei von fünfzehn (allgemein: drei von n) Personen am gleichen Tag Geburtstag feiern.

Das arithmetische Mittel lässt sich auf vielfache Weise axiomatisch ableiten. Hier wird eine besonders und auch im Schulunterricht verwendbare Begründung aufgezeigt.

In dieser Arbeit werden einige Übungen vorgestellt, die den Schülern ein Gefühl für subjektive Wahrscheinlichkeiten geben sollen. Diese Übungen basieren auf Methoden, die Shannon (1951) entwickelt hat, um den Informationsgehalt einer Sprache (die Entropie) zu schätzen. Die Lernziele dieser Übungen sind die folgenden: Erstens soll den Schülern gezeigt werden, wie statistisch abhängige bzw. unabhängige Daten aussehen. Zum zweiten soll der Unterschied geklärt werden, wie man zu einer statistischen Entscheidung gelangt im Fall von hochgradig abhängigen Daten und im Fall von nahezu unabhängigen Daten. Daneben wollen wir Übungen vorstellen, für die statistische Daten leicht beschafft werden können.

Dieser Beitrag gibt einfache untere und obere Schranken für den Erwartungswert der Stichprobenvarianz bei korrelierten Beobachtungen.

Dieses Beispiel soll zeigen, wie mit gut vorbereiteten Arbeitsblättern die Berechnungen für den Chi-Quadrat-Test schnell durchgeführt werden können.

Aus der statistischen Beratungspraxis

Das vorliegende Buch von Riedwyl ... führt ohne Jargon, und ohne Vorkenntnisse irgendeiner Art vorauszusetzen, sehr einfühlsam in das Berechnen von Wahrscheinlichkeiten ein. ... Der größte Teil ... ist allerdings der Psychologie und Mechanik des Lottospielens selbst gewidmet, ... Riedwyl ... sämtliche Lottoscheine einer bestimmten Ziehung ... ausgewertet und die erstaunlichsten Tipp-Muster ans Licht gefördert hat! ... Die Lehre daraus ist, daß man beim Lotto nicht nur gegen den Zufall, sondern in erster Linie gegen alle anderen Lottospieler spielt.
Es läßt sich im Unterricht sehr schön zur Appetitanregung auf weiterführende Verfahren der Wahrscheinlichkeitsrechnung benutzen, und kann wegen seiner klaren und unprätentiösen Sprache auch allen Laien, die sich für Lotto interessieren, sehr empfohlen werden.

Berichtet wird über die Entwicklung von Simulationsversuchen im Rahmen der Vorbereitung einer Unterrichtsreihe zur Einführung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs in der Jahrgangsstufe 6 anhand des 'Drei-Türen-Problems', bei dem eine klassische Laplace-Lösung zwar leicht zugänglich ist, aber in der Regel überraschend ist oder nicht geglaubt wird. Ein späterer Bericht wird die Durchführung der Unterrichtsreihe dokumentieren.

Es wird von einer Übungsaufgabe zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Laplace-Experiments berichtet. Dabei handelt es sich um ein k aus n - Problem, bei dem verschiedene Lösungswege angemessen zum Ziel führen.

Die mittlere Schrittzahl beim Mensch-ärgere-dich-nicht-Spiel lässt sich auf verschiedene Weisen berechnen. Die unterschiedlichen Lösungsmethoden (eine Sammlung aus verschiedenen Stochastikkursen) werden im Hinblick auf ein formalabstraktes Konzept der Zufallsvariablen diskutiert. Solche anspruchsvollen Aufgaben, von motivierten und ideenreichen Schülern bearbeitet, liefern eine Fülle von Lösungsideen, die dazu anregen, erneut über das Lehren und Lernen von Mathematik nachzudenken.

Es wird ein einfaches stochastisches Modell eines Kettenbriefsystems vorgestellt, welches hinreichend genau erklärt, warum solche Systeme meist nicht das halten, was sie versprechen, wobei auch auf statistische Fragestellungen eingegangen wird. Eine Veranschaulichungsmöglichkeit des Modells durch den Einsatz eines PC in der Schule wird ebenfalls diskutiert.

Zur Überfälligkeit einer Grundsatzdiskussion.

Am Beispiel einer erlebten Unterrichtseinheit zur Berechnung von einfachen (klassischen) Wahrscheinlichkeiten wird erkennbar, wie schwierig es ist, sich mit Primärintuitionen über Wahrscheinlichkeit auseinanderzusetzen.

Der nachfolgende Erfahrungsbericht beschreibt einen experimentellen Einstieg in einen Stochastik-Leistungskurs der Oberstufe. Das dafür gewählte 'Drei-Türen-Problem' (auch als 'Ziegenproblem' bekannt) erwies sich als äußerst motivierend und führte den Kurs an eine Vielzahl stochastischer Fragestellungen heran. Besonders wichtig waren mir dabei die ersten Erfahrungen mit Simulationen und deren Auswertung.

Beim Hypothesentesten werden zwei Hypothesen gegeneinander ausgespielt, und zwar erfolgt die Annahme der Alternativhypothese, wenn das Testergebnis bei Vorliegen der Nullhypothese sehr unwahrscheinlich ist. Dabei verneint die Nullhypothese das, was man eigentlich nachweisen will. Dies in bestimmten Anwendungssituationen zu akzeptieren, kann Schwierigkeiten bereiten. Von sehr anschaulichen und einleuchtenden Anwendungsbezügen abzusehen, und den Effekt, den man eigentlich nachweisen will, vorübergehend für 'null und nichtig' zu erklären, darf nicht nur formal irgendwo als Nullhypothese aufgeschrieben werden, sondern muss bei manchen Wahrscheinlichkeitsrechnungen voll inhaltlich akzeptiert und berücksichtigt werden.

Die in Schulbüchern übliche graphische Darstellung von mehrstufigen Zufallsexperimenten als nach rechts sich verzweigender Baum, erweist sich für manche Beispiele bzw. zur Verdeutlichung gewisser Aspekte als schwierig, und zwar besonders für solche ausführlichen, wie sie häufig bei Einführung und Einübung verwendet werden. Dies wird mit drei Argumenten ausgeführt; danach werden zwei fraktale Darstellungsmöglichkeiten beschrieben, die eine Verbesserung bieten. Der zeitliche Verlauf eines mehrstufigen Experiments und die Pfadregel bleiben veranschaulichbar. Abschließend wird die baumartige mit den fraktalen Darstellungsarten verglichen.

Kann ein typisches Stadtkind besser eine verkehrsreiche Strasse überqueren als eines vom Land. Bob Neale, Mathematiklehrer an einer Primarschule in England, gibt einen Erfahrungsbericht zu einem durchgeführten Stochastik-Projekt.

Es wird ein auf Ungleichheitsbeziehungen zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel beruhender Weg zur Behandlung von Eigenschaften des Korrelationskoeffizienten vorgestellt.

Eine Datenbank zur Geschichte Großbritanniens wird vorgestellt. Die 14 Datenreihen überdecken die Periode von 1850 bis 1990 in Intervallen von zehn Jahren. Es wird auf eine mögliche Nutzung der Datenbank im Statistikunterricht hingewiesen und auf Gefahren bei der Auswertung des Materials aufmerksam gemacht.

Ein einfaches Zeitreihenmodell soll an Daten angepasst werden, deren Trend starken Schwankungen unterliegt. Die Arbeitslosenzahlen in Großbritannien dienen als Beispiel. Die Schwierigkeiten bei der Anpassung liefern dennoch nützliche Einsichten in die Struktur der Daten.

Aids-Tests finden mit hoher Zuverlässigkeit Infizierte unter den Untersuchten und klassifizieren mit hoher Sicherheit Nicht- Infizierte als solche. Trotzdem bedeutet ein positives Testergebnis nur mit einer Wahrscheinlichkeit von rund 9%, dass eine Infektion vorliegt. Der Sachverhalt wird hier aufgeklärt und ein doch brauchbarer Umgang mit dem Test vorgeschlagen.

Es werden anhand des bekannten und unterhaltsamen 'Ziegenproblems' kontrastierend die stochastischen Denkweisen der Objektivisten einerseits, der Bayesianer andererseits skizziert.

Verwendet man für Tests oder Schätzungen zur Binomialverteilung die Tschebyschew-Ungleichung, so erhält man ungünstige Abschätzungen mit schlechten Genauigkeiten oder großen Serienlängen. Approximiert man durch die Normalverteilung, erhält man günstigere Konditionen, muss aber Anpassungsbedingungen durch a priori Annahmen an p erfüllen, etwa n p (1 - p) > 9. Eine weitgehende unbekannte Abschätzung von Höffding ist besser als die Tschebyschew-Ungleichung, zwar schlechter als die bei Approximation durch Normalverteilung, erfordert dafür aber keine Bedingungen. Sie ermöglicht neues Nachdenken über den Umgang mit a priori Wahrscheinlichkeiten. Wir beweisen sie mit elementaren Mitteln, so dass eine Diskussion in der Schule im Zusammenhang mit dem Analysisunterricht zumindest möglich erscheint.

Der Einsatz von Testverfahren bei Forschungsvorhaben ist durch zwei Merkmale gekennzeichnet, die bei der Behandlung im Stochastikunterricht leicht zu kurz kommen. Erstens werden manche Freiheiten und damit auch Unbestimmtheiten, die aus rein mathematischer Sicht noch offen bleiben, durch Voraussetzungen eingeschränkt, die sich aus dem inhaltlichen Zusammenhang der Untersuchung ergeben. Zweitens beginnt jede Untersuchung mit einer Planungsphase, in der u.a. der Stichprobenumfang festgelegt wird. Im folgenden soll anhand eines konkreten Beispiels eine inhaltliche Variante durchgespielt werden, die Erfahrungen aus dem Universitäts-Krankenhaus in Hamburg-Eppendorf aufgreift und dem Zweck dient, das Testen von Hypothesen im Unterricht verständlich zu machen.

Die folgende Aufgabe kann im Unterricht zu mindestens drei verschiedenen Lösungen und den entsprechenden lebhaften Diskussionen führen: 'Besonders in Süddeutschland ist das Schafkopfspiel verbreitet. Man spielt mit 32 Karten, darunter genau 4 Assen. Jedem der 4 Spieler werden 8 Karten ausgeteilt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jeder Spieler 1 As erhält, wenn man davon ausgeht, dass die Karten vor dem Austeilen gut gemischt wurden.'

Der im Rahmen der Korrelations- und Regressionsrechnung verwendete Korrelationskoeffizient gilt als schwierig zu berechnen und interpretieren. Darüber hinaus macht er nur Sinn bei metrisch skalierten Messreihen. In dieser Arbeit wird ein alternativer Korrelationskoeffizient vorgestellt, der sich mit graphischen Methoden berechnen, somit wesentlich einfacher interpretieren lässt und auch für Daten aus einer Ordinalskala sinnvoll ist.

Die Methode der einfachen (2k+1)- bzw. 2k-gliedrigen gleitenden Mittelwertbildung zur Bestimmung von Trendwerten führt jeweils zu k fehlenden Werten am unteren und oberen Rand der Trendreihe. Im Beitrag wird ein Verfahren vorgestellt, solche fehlenden Randwerte zu schätzen. An Beispielen werden ferner die Einsatzmöglichkeiten gewichteter gleitender Mittel herausgearbeitet. In diesem Teil wird neues Datenmaterial angeboten, das sich für Zeitreihenanalysen im Mathematikunterricht der Schule eignet. Abschließend erfolgt eine Einführung in die Methode der exponentiellen Glättung.

Die Zielgruppe des vorliegenden Werkes sind Lehrer und Schüler. Wer nun allerdings erwartet hat "nur" eine Aufgabenplantage im üblichen Stil der Aufgabensammlungen zum schriftlichen Abitur vorzufinden, sieht sich angenehm überrascht ... Dazu werden .. die Besonderheiten des mündlichen Abiturs dargestellt und hieraus Konsequenzen für die Aufgabenstellung abgeleitet. ...
Insgesamt kann man den Autoren durchaus bescheinigen, daß sie mit ihrem Buch einen Beitrag zur Handlungskompetenz der Lehrer geleistet haben. Undauch Schüler als zweite Zielgruppe dürften es für ihr Training als hilfreich empfinden.

M. Borovcnik berührt einen weiten Kreis philosophischer, erkenntnistheoretischer, psychologischer und didaktischer Fragen und beleuchtet so den komplizierten Hintergrund des Stochastikunterrichts ... 5 Kapitel: 1. Intuitionen und Mathematik 2. Intuitive Ideen der klassischen Statistik 3. Intuitive Ideen im Bayes-Ansatz 4. Intuitive Vorstellungen von Personen 5. Verständnis der Theorie über ihre Anwendungen. ... Die für mich wichtigste Erkenntnis .. ist eine neue Sicht auf das Verhältnis objektivistischer und subjektivistischer Betrachtungsweisen, ...
Das Buch reiht sich ein in die aktuelle Diskussion von Grundlagenfragen einer Didaktik der Stochastik. ... eignet sich nicht primär als Einstieg in die Stochastik als didaktische .. Disziplin, aber sie sollte ein entscheidender Anstoß aller ... sein, eine Neuorientierung in Forschung, Lehre und Unterricht vorzunehmen. Sie kann Grundlage für ein ganzes Forschungsprogramm werden.

Daten aus Pferderennen bieten einen interessanten und ungewöhnlichen Weg zur Einführung in die Begriffe der Entscheidungstheorie auf einem elementaren Niveau. Rennen mit einer großen Zahl von Teilnehmern können durch einfache Eliminationsmethoden auf eine leichter zu handhabende Menge reduziert werden; eine Vorhersage des Ausgangs des Rennens kann durch Zuordnen von Rängen oder Gewichten getroffen werden. Die Vorhersage könnte einer Videoaufzeichnung des Rennens gegenübergestellt werden.

Es werden an einem konkreten Fall interessante Irrungen und Wirrungen inferenzstatistischer Argumentation in den Humanwissenschaften nachgezeichnet.

Herr Diepgen hat in verschiedenen Beiträgen ... zur Problematik der "Diskrepanz zwischen statistischem Überbau und statistischer Alltagspraxis in vielen Humanwissenschaften" Stellung genommen und in diesem Zusammenhang auf Mißbräuche im sauberen Umgang mit statistischen Methoden in den genannten Disziplinen hingewiesen. Als Konsequenz seiner Analysen fordert er einen "mathematikfreieren" Stochastikunterricht, ... Als einer dem "partikulären Interesse ihrer Profession verpflichteten Statistikprofessoren" möchte ich hierzu kritisch Stellung nehmen ...

Ein klassisches Experiment über Verkosten von Tee wird benützt, um zu zeigen, daß viele Standardmethoden der Analyse von resultierenden Daten wenig zufriedenstellend sind. Ein ähnliches Experiment mit Wein soll zeigen, wie man eine vernünftigere Methode entwickelt.

Dieser Artikel ist im wesentlichen ein Auszug aus dem umfassenden Bericht "Computer im Mathematik-Curriculum (1992), welcher jüngst von der nationalen englischen Mathematikervereinigung herausgegeben wurde.

In Teil 1, erschienen im letzten Heft von Stochastik in der Schule, wurde die Methode der gleitenden Mittelwerte vorgestellt. Diese dient dazu, aus einer Zeitreihe den Trend herauszurechnen. In diesem Teil wird der Rest eines Beispiel besprochen, speziell wird aus dem Trend eine Prognose für die Zukunft abgeleitet. Danach wird eine andere Methode zur Berechnung des glatten Teils einer Zeitreihe vorgestellt, nämlich die exponentielle Glättung. Diese Methode wird sodann an einem Beispiel illustriert und mit der Methode der gleitenden Mittelwerte verglichen.

Täglich werden wir in allen Medien mit Grafiken konfrontiert, die den Zweck haben sollten, den Betrachter auf einen Sachverhalt hinzuweisen und ihm einen schnellen Überblick zu verschaffen. Oft aber sind die Informationen in falschen Größenverhältnissen oder zumindest in irritierender Form dargestellt. Manchmal kann man sich als Betrachter nicht des Eindrucks erwehren, dass die Grafiken von den Daten ablenken sollen. Solche Grafiken sind fehlerhaft, da sie u.a. gegen Regeln der Proportionalität verstoßen bzw. aufgrund von perspektivischen Verzerrungen einen falschen Eindruck vermitteln. Der Autor regt an, gelegentlich Schülern eine solche 'fehlerhafte' Grafik vorzulegen, zu diskutieren und damit den Unterricht im positiven Sinne 'aufzulockern': Die Schüler 'wiederholen' gleichzeitig Unterrichtsstoff, den sie üblicherweise anderen Gebieten der Mathematik zuordnen: Volumenberechnungen, perspektivische Darstellungen u.a.m.

Im Artikel wird ein Beispiel diskutiert, in dem vier verschiedene Datensätze mit unterschiedlichen Streuungsmustern die gleiche Standardabweichung besitzen. Es wird gezeigt, daß verschiedene Streuungsmaße zu unterschiedlichen Antworten auf die Frage nach dem Datensatz mit der größten Streuung führen.

Es wird gelegentlich festgestellt, daß Wahrscheinlichkeitsrechnung auf einem einführenden Niveau nicht schwierig sei, da es sich oft lediglich um Fragen zu Verhältnissen handelt. Studenten bewältigen jedoch die Aufgaben in unbefriedigender Weise und eine Ursache könnte eine mangelhafte Vertrautheit im Umgang mit Verhältnissen sein. Um dies zu untersuchen, entwickelten wir einen Test, über dessen Ergebnisse wir hier berichten.

Eine alltägliche Situation, die Verspätung von Zügen wird betrachtet. Die Probleme der Quantifizierung wird zusammen mit Situationen beschrieben, in denen man Binomialverteilungen, Konfidenzintervalle, Mittelwerte und Mediane nutzen kann.

Einem Aufruf der Zeitschrift folgend, wurden einige Abituraufgaben eingesandt, die beginnend mit diesem Heft veröffentlicht werden. Die Aufgaben werden mit kurzen Vorbemerkungen zum vorherigen Unterricht, zu Quellen der Aufgabe sowie zum Ablauf der Prüfungen versehen, soweit dies aus den Zuschriften der Autoren ersichtlich war. Ferner enthält jede Aufgabe Lösungshinweise.

Es handelt sich um das erste Stichwortverzeichnis zu 'Stochastik in der Schule', das jetzt auf der Homepage bis 1999 fortgeführt ist.

Bei vielen physikalischen Prozessen und Beobachtungen ist die Verteilung der Extremwerte von großer Bedeutung. Dieser Artikel führt in die Problematik ein, diskutiert Verteilungsmodelle und Grenzverteilungsfunktionen, wie z.B. die Gumbel-Verteilung.

Die Stochastik lebt vom Ausdenken von Zufallsexperimenten, ihrer Ausführung und Auswertung. Im folgenden Artikel wird ein Zufallsexperiment über die Arbeitsweise des Kurzzeitgedächtnisses beschrieben, dessen Durchführung als exemplarisch für die Vorgehensweise in der Stochastik angesehen werden kann.

Die graphische Veranschaulichung eines von Peter Holmes (1991) beschriebenen Zufallsprozesses mit Hilfe von Markow-Ketten erlaubt es, auf einfache Weise Rekursionsformeln für die Wahrscheinlichkeitsverteilung der zugehörigen Zufallsgröße zu gewinnen. Mit einem auf diesen Formeln basierenden effektiven Algorithmus lassen sich die von Holmes beschriebenen Speicherplatz-Probleme bei der Berechnung der Verteilung vermeiden. Auch zum Beweis von Vermutungen über gewisse in dieser Verteilung auftretende Einzelwahrscheinlichkeiten erweisen sich Markow-Ketten als hilfreich.

Die Problematik,Arbeitslosigkeit' wird sicher im Unterricht der allgemeinbildenden Schulen aufgegriffen. Die Entwicklung der Arbeitslosenzahlen hängt vor allem von der konjunkturellen Lage und von strukturellen wirtschaftlichen Gegebenheiten ab. Im Verlauf eines Jahres jedoch unterliegt sie in einem erheblichen Umfange saisonalen Einflüssen. Durch die Quantifizierung dieser Saisoneinflüsse, durch die Beschreibung einer Saisonfigur und durch die Saisonbereinigung gelingt es, die Entwicklung der Arbeitslosenzahlen relativ gut zu beschreiben und schließlich auch den Trend zufriedenstellend abzuschätzen. Im Aufsatz werden zwei elementare Verfahren vorgestellt, die auf der Zerlegung in Komponenten beruhen. Schwerpunktmäßig werden mögliche Unterrichtsgänge bis hin zur Saisonbereinigung dargestellt. In einem weiteren Aufsatz wird der Verfasser am Beispiel der monatlichen Arbeitslosenzahlen eine andere Art der Zeitreihenanalyse vorstellen, nämlich das erweiterte exponentielle Glätten.

Diese Arbeit behandelt die Korrelation durch gemeinsame Elemente (KGE), ihre Erweiterung auf negative Korrelation und die Erzeugung bivariat normalverteilter Stichproben für eine festgelegte Korrelationsmatrix.

Es wird die Einkleidung bzw. der vermeintliche Anwendungsbezug einer Stochastikaufgabe zum Hypothesentesten mit Hilfe der Binomialverteilung im Hinblick auf die Präzision des Aufgabentextes und die Validität des beschriebenen Tests kritisiert.

Statistische Methoden haben in der jüngeren Vergangenheit eine enorme Verbreitung gefunden. Jedoch steigt mit der Zunahme der Anwendung von statistischen Methoden leider auch deren Missbrauch. Missachtung der Voraussetzungen, Fehlinterpretationen oder unerlaubte Verallgemeinerungen haben der Statistik einen schlechten Ruf eingebracht. Statistik kann aber die Entscheidungsfindung in unsicheren Situationen wesentlich verbessern. Dazu muss man aber das Anliegen der Statistik sowie ihre Möglichkeiten und Grenzen sehr gut kennen. Der vorliegende Artikel soll klären, in welcher Form Statistik zur Bewältigung anstehender Fragen beitragen kann.

Im 1. Teil des Aufsatzes werden drei Unterrichtsstunden in einem 8. Schuljahr beschrieben. Ein motivierendes Zufallsexperiment wird im Unterricht geplant und durchgeführt. Im Anschluss daran werden die gewonnenen Daten geordnet, verschiedene Kennwerte erarbeitet und ein Vergleich zwischen den Testleistungen der Jungen und Mädchen durchgeführt. Im 2. Teil des Aufsatzes berichtet der Verfasser von seinen Erfahrungen mit dem gleichen Zufallsexperiment in drei verschiedenen Seminaren mit Lehramtsstudenten. Neben weiteren Techniken zur Beschreibung der Daten (5-Zahlenzusammenfassung und Kastenschaubild) werden verschiedene Hypothesen aufgestellt, die mit Hilfe der Binomialverteilung zufallskritisch geprüft werden. Es wird gezeigt, wie man aus einem unübersichtlichen und stark streuenden Datensatz statistisch signifikante Regelmäßigkeiten herausfiltern kann.

Die meisten heutigen Computer sind mit leicht handhabbaren Programmen zum Zeichnen ausgestattet. Sie ermöglichen es den Schülern relativ leicht, professionell aussehende Piktogramme zu produzieren, wie in diesem Artikel diskutiert wird. Bevor man an das Erstellen eines Piktogramms herangeht, rät der Autor eine Kollektion von brauchbaren Icons parat zu haben.

Aus Überlegungen zu verschiedenen Verfahren zur Addition bzw. Subtraktion von Brüchen heraus wird danach gefragt, mit welcher Wahrscheinlichkeit die jeweiligen primären Summenbrüche überhaupt oder sogar nur schwer zu kürzen sind. Diese Fragen werden durch entsprechende Simulationen beantwortet. Die Bedeutung der Ergebnisse für den Mathematikunterricht wird angesprochen.

Es wird ein Unterrichtsgang vorgestellt, der über das einfache exponentielle Glätten zum exponentiellen Glätten mit Saisonbereinigung führt. Die entstehenden Glättungslinien werden als Näherungen für Trendkurven aufgefasst und entsprechend interpretiert. Saisonfiguren werden herausgearbeitet und diskutiert. Das Verfahren wird mit seinen Stärken und Schwächen als ein mögliches mathematisches Modell für die Analyse von Zeitreihen mit deutlichen saisonalen Schwankungen dargestellt.

Es wird eine größere Reihe von Sachverhalten vorgestellt, die der Beschreibenden Statistik zugerechnet werden können und die dem gesunden Menschenverstand paradox oder doch sehr verblüffend erscheinen, jedenfalls auf den ersten Blick. Die Ausgangsbeispiele sind oft sehr einfache Situationen, die aber auf praktisch wichtige Fälle übertragen werden können.

Darstellung der Anzahl der Teiler der Zahlen von 1 - 50 (bzw. 1 - 99) in einer aus der Explorativen Datenanalyse angeregten Form, als Ergänzung für die Auseinandersetzung mit dem Phänomen der Teilbarkeit der Zahlen im 6. Schuljahr

Cuisenaire-Stäbe liefern eine konkrete Verkörperung für das Erlernen der Begriffe arithmetisches Mittel, Median und Modalwert durch Mittelschüler. Diese statistischen Konzepte werden gewöhnlich abstrakt gelehrt, aber sie können durch gegenständliches Manipulieren besser verstanden werden.

Dieser Artikel untersucht die Rolle des graphischen Darstellens bei der Datenauswertung in den ersten Schuljahren.

Die Methode der Inklusion-Exklusion kann genutzt werden, um aufeinanderfolgende obere und untere Schranken für die Wahrscheinlichkeit eines zusammengesetzten Ereignisses zu erhalten. Dies wird dann angewendet, um die Wahrscheinlichkeit schadhafter Segmente auf einer Festplatte von Mikrocomputern zu berechnen.

Bericht über ein Projekt in der Schule auf dem Niveau der Sekundarstufe II.

Die in der Entwicklung der Schulmathematik zunehmende Betonung darauf, was Mathematiker tun, gegenüber dem, was sie wissen, bietet einige interessante Möglichkeiten für den Statistikunterricht. Der Beitrag untersucht diese Prozesse und deutet die Art der möglichen Einflussnahme auf die Schule an.

... Wie es aber nun anstellen, daß man als Lottospieler möglichst große Chancen .. hat? ... Hierzu gibt uns Karl Bosch ... Auskunft. ... ... Man muß bemüht sein, gegen die anderen Lottospieler zu tippen. ... Der Autor hat knapp 7 Mio zufällig ausgewählte, getippte Reihen eines Spielsamstages .. analysiert. ... Der Autor hat es sich .. zum Ziel gemacht, Grundbegriffe .., die auch sonst im täglichen Leben oft benutzt werden, ... anschaulich und verständlich darzustellen. ... ist das vorliegende Werk als schmackhafte Einführungskost zur Stochastik zu empfehlen.

Kann eine zufällige, dritte Zahl eine Schiedsrichterfunktion einnehmen, wenn zu entscheiden ist, ob eine Zahl A größer ist als eine zweite, unbekannte Zahl B? Mit Hilfe eines elementaren Wahrscheinlichkeitsmodells und der Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit wird eine zunächst überraschende Aussage bewiesen. Anhand von Spezialfällen wird die Aussage näher erläutert und plausibel gemacht.

Wahrscheinlichkeitsexperiment für Schulkinder mit Würfeln oder Münzen sind weit verbreitet. Dominosteine werden selten genutzt. In diesem Artikel werden fünf Experimente mit Dominosteinen beschrieben, die auf chinesischen Spielregeln beruhen.

Zu Beginn des Beitrags wird zunächst der mathematische Hintergrund für den f-Test und den t-Test skizziert. Anschließend wird über eine konvexe Testreihe berichtet, die sich auf die Tablettenherstellung bezieht. Die Daten stammen aus einem pharmazeutischen Praktikum der Universität Hamburg. Sie sind trotzdem sehr realitätsnah. Denn dem Verkauf der produzierten Tabletten stehen nur die strengen Bestimmungen des Arzneimittelgesetzes entgegen. Im übrigen geht es genau so zu wie in der pharmazeutischen Industrie. Nach einem kurzen Abschnitt mit weiteren Informationen zur Praxis des Testens von Hypothesen folgt dann eine didaktische Wertung der Ergebnisse im Hinblick auf den Stochastikunterricht.

Daten für die hundert größten Städte der Welt werden vorgestellt. Sie bilden den Teil einer Fallstudie, in deren Rahmen Studenten in Explorativer Datenanalyse unterrichtet wurden, aber sie sind auch von zusätzlichem Interesse, da sie den Blick auf Armut und Unterentwicklung in der Dritten Welt und den Kontrast zum Wohlstand der Ersten Welt richten.

Eine Aufgabe aus einem Schulbuch gibt Anlass zur Diskussion über fragwürdige Anwendungen im Mathematikunterricht.

Leserbrief zum komplexen Verhältnis von Stochastik und Statistik.

Aus der historischen Analyse der Vorgehensweise bei der Lösung eines speziellen Problems (in der eine damals übliche Fehlvorstellung zu einer falschen Erwartungshaltung führte) kann man viel für die moderne statistische Beratung lernen. Das zeigt der Autor am Beispiel von Newton, der sich nur sporadisch mit Problemen der Wahrscheinlichkeit auseinandersetzte und dennoch in seiner Herangehensweise beispielgebend ist.

Studierende entwickeln Vorstellungen von Wahrscheinlichkeit ohne formalen Unterricht im Fach und einige ihrer Vorstellungen sind mit den Konzepten, die dann unterrichtet werden, nicht vereinbar. Eine Studie mit 200 Schülern der Sekundarstufen sollte über diese Vorbegriffe Aufschluß geben. Der Fragebogen und die Ergebnisse werden hier vorgestellt.

Die Intuition über Wahrscheinlichkeit ist häufig nicht nur sehr vage, sondern paßt mit theoretischen Vorstellungen nicht zusammen. Ein Musterbeispiel sind gedachte Abhängigkeiten, wo keine sein sollten. So etwa vermeidet man es intuitiv, beim Ersinnen von zufälligen Zahlen zwei gleiche Zahlen hintereinander zu nennen. Ein Klassenexperiment dazu und die Auswertung in einem Vergleich mit simulativen Ergebnissen von Zufallszahlen wird hier vorgestellt.

Anwenderstudenten haben mit der Statistik häufig Motivationsprobleme. Andererseits benutzen sie in ihrem eigenen Fach Daten aus Stichproben zur Bearbeitung aktueller Fragestellungen. Ein Fragebogen sollte Aufschluß darüber ergeben, welche Vorstellungen diese Studierenden von den einschlägigen Begriffen haben. Gleichzeitig bildete der Fragebogen eine interessante Auseinandersetzung für den Unterricht. Darüber wird hier berichtet.

In seinem Editorial in Teaching Statistics schreibt Hunt über die Schwierigkeit, bei der Stellung von Prüfungsaufgaben alle Mißverständnisse vorherzusehen. Er schließt mit dem Wunsch, eine Rubrik für Standard-Fehler in Teach. Stat. einzurichten. Croucher reagiert in einem Leserbrief darauf und führt einen ersten Standardfehler im Zusammenhang mit dem Zentralen Grenzverteilungssatz an.

Dies ist ein Bericht von Peter Holmes über die Ergebnisse der englischsprachigen Arbeitsgruppe an der Fourth International Conference on Teaching Statistics (ICoTS 4) in Marrakesch im Juli 1994. Der vollständige Bericht kann bei ihm unter der Adresse Centre for Statistical Education, Probability & Statistics, University of Sheffield, S3 7H, angefordert werden.

Im folgenden werden aktuelle Forschungsarbeiten aus den USA im Zusammenhang mit dem Computer im Stochastikunterricht referiert. An Themen werden tangiert: Vorstellungen von Studenten über Wahrscheinlichkeit, Studentische Auffassungen von Zufall, Schlüsse über Beziehungen zwischen zwei Variablen, Verständnis des Gesetzes der Großen Zahlen.

Viele Bücher definieren P-Werte auf verschiedene Weisen, und es wird allgemein hin angenommen, daß diese Definitionen äquivalent sind. Daß dies nicht der Fall ist, mag überraschen, aber wir werden hier zeigen, daß einige Definitionen nicht einmal mit solch einer elementaren Prozedur wie der Spezifikation einer kritischen Region im Einklang steht.

In Teach. Statistics 15 (1993), Heft 2, wurde eine knappe Darstellung der Integration der Dichte der Normalverteilung gegeben. Der übliche Weg führt über Doppelintegrale, wobei das Integral durch Einführung von Polarkoordinaten lösbar wird. Die dabei erforderliche Jacobi-Determinante wurde zwar heuristisch motiviert, stellt aber einen Nachteil für die Behandlung in der Sekundarstufe dar. Zuerst werden kurz die wesentlichen Details von Watkins wiedergegeben; der darauffolgende Leserbrief von Kent skizziert einen heuristischen Umweg, der die Doppelintegrale vermeidet.

Statistisches Testen gilt als schwierig. Einige der Verständnisprobleme entstehen aber eigentlich dadurch, daß man die Verfahren von ihrem ursprünglichen Zusammenhang abgelöst und verallgemeinert hat. Der historische Umweg zum Testen über Fragen der Qualitätsregelung kann den Unterricht bereichern und die angesprochenen Schwierigkeiten vermeiden. Die grundlegenden Fragestellungen der Qualitätsregelung werden im folgenden dargestellt. Ein Grundtyp von Problemen wird dann ausführlich im Kontext der Qualitätsregelung behandelt. Schließlich werden Bezüge zum Testen von Hypothesen geknüpft; daraus wiederum ergeben sich Anregungen für den Unterricht zum Testen. Ein Ausblick auf Vertiefungen in der Qualitätskontrolle rundet die Ausführungen ab.

Zahlen bei Hausnummern, Halbwertszeiten, Energieverbrauchszahlen haben nach Benford die Eigenschaft, dass sich eine abnehmende relative Häufigkeit von 1 bis 9 als Anfangsziffer ergibt. Das Problem wird geschildert, diskutiert und mit weiterführenden Betrachtungen von R.A.Raimi sowie R.S.Pinkham ergänzt.

Vorstellung und Diskussion von zwei Stochastikaufgaben einer Abiturklausur 1995.

Beschreibung mit Bewertungsvorschlag sowie Ergebnisdarstellung einer Aufgabe zum Thema Bundestagswahl 1994. Zur Lösung notwendige Kenntnisse sind: Baumdiagramme, Schätzen von Anzahlen, Verwendung von Näherungsformeln, rekursive Wahrscheinlichkeitsberechnung bei Bernoulli-Versuchen ebenso wie die Poisson-Näherung, sachbezogene Beschreibung von Fehlern beim Hypothesentest.

Aufgabenstellung, erwartete Schülerleistungen, Ergebnisdiskussion einer Aufgabe zur Verkehrsmittelnutzung von Studenten zu ihrer Universität. Stoff, der benötigt wird zur Lösung: Stichprobenraum, Berechnungen an Wahrscheinlichkeitsbäumen, binomialverteilte Zufallsgrößen, Ablesen aus Tabellen, Hypothesentests, Gütefunktion.

Es wird ein klassisches Wahrscheinlichkeitsproblem (Wahrscheinlichkeit, dass drei Münzen mit der gleichen Seite nach oben fallen) mit einer offensichtlich falschen Lösung analysiert. Die Klärung des entstehenden Widerspruchs beleuchtet grundlegende Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Nach einer Beschreibung der Technik der Boxplotherstellung in der Explorativen Datenanalyse werden Verwendungsmöglichkeiten diskutiert. Speziell wird aufgezeigt, wie Missbräuche zu vermeiden sind.

Im Stochastikunterricht sollen die Lernenden geeignete Grundvorstellungen und -verständnisse (GVV) für die mathematische Begrifflichkeit ausbilden und dabei ihr Denken, die Mathematik und die Anwendungen zum Passen bringen. Der in den Sekundarstufen fundamentale Begriff der Funktion (als Zuordnung zwischen zwei Mengen) liefert dafür eine Basis, allerdings nicht in einer abstrakten Form, sondern mental in der Lebenswelt verankert. -- Für einige zentrale Inhalte der elementaren Stochastik werden solche GVV diskutiert.

Es wird ein chinesisches Würfelspiel vorgestellt. Nach der Beschreibung werden seine Wahrscheinlichkeitsverteilung untersucht und Spielsimulationen diskutiert.

Dieser Aufsatz diskutiert eine Anwendung der schließenden Statistik in der Pharmazie. Es wird die Frage der therapeutischen Gleichwertigkeit von Arzneimitteln aufgegriffen und an einem konkreten Beispiel ausführlich beantwortet. Dabei spielen die Begriffe Bioäquivalenz und Bioverfügbarkeit und deren Bestimmung eine besondere Rolle.

Dieser Artikel befasst sich mit zwei Studien von Kindern, die sich mit den Naturphänomenen ihrer Umwelt beschäftigten. Sie fragten nach den Ursachen dieser Phänomene und entwickelten ihre eigenen Versuche, um Hypothesen aufstellen zu können.

Das Pro und Contra des Computer-Einsatzes im Bereich der deskriptiven Statistik wird diskutiert, besonders auch mit Blick auf Überprüfungsverfahren wie z.B. Klausuren. Die Stellungnahme fällt eindeutig zugunsten des Computers aus. An Beispielen wird eine angemessene Vorgehensweise zur Layout-Optimierung von Diagrammen gezeigt.

In einer Klasse mit 14-jährigen Schülern wird durch Simulation beim 6-teiligen Rechteck-Puzzle Jigsaw experimentell ermittelt, wie oft man im Schnitt würfeln muss , um es zu vollenden. Analoge Überlegungen werden auf das kompliziertere Puzzle Jack's Haus angewandt. -- Zwei Computerprogramme dazu runden die Überlegungen ab.

Sind nur arithmetisches Mittel und Standardabweichung einer monoton steigenden Zahlenfolge des Umfangs n bekannt, so kann die n-te Zahl nicht beliebig groß sein. Die Schranken für die Spannweite werden angegeben.

Beim Zahlen-Lotto ''6 aus 49'' werden zufällig benachbarte Zahlen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen solchen Ausfall? Die Standard-Berechnung wird hier ergänzt durch einen neuen, ungewöhnlichen Lösungs-Gedanken.

Die Problematik beim Auswerten realer bivariater Daten -- z.B. bei Projekt-Arbeit -- wird intensiv diskutiert: die Angemessenheit der Vorgehensweise, die Prämissen bei der Anwendung theoretischer Modelle (Korrelation, Regression), das Modellieren von Tests sowie der adäquate Umgang mit voraussagefähigen Test-Verfahren.

Es werden einige Internet-Adressen mitgeteilt, die Lehrern der Mathematik und anderer einschlägiger Fächer helfen können, sich interessantes und vor allem aktuelles statistisches Material für den Unterricht zu besorgen.

Für Stochastiker wie Nicht-Mathematiker gleichermaßen ist interessant und lehrreich zu wissen, wo stochastische Termini ihren Ursprung haben und welche ursprüngliche Bedeutung diese besaßen. Besonders das Indoeuropäische, Griechische, Lateinische und (Alt-)Französische sind eine Fundgrube. -- Zu betonen ist jedoch, dass die Sicht des Verfassers naturgemäß die eines englisch-sprachigen Mathematikers ist. -- Nicht zuletzt durch die Computer ist Englisch nahezu jedem daran Interessierten mehr oder weniger vertraut, weshalb auf eine Kürzung der Übersetzung (und die damit einhergehende Verengung) verzichtet wurde.

Die Ergebnisse der internationalen TIMSS-Studie werden hinsichtlich der Ergebnisse der deutschen Schüler in Stochastik diskutiert.

Als ich 1963 zum Helmholtz-Gymnasium kam, gehörte die Stochastik nicht zu den Gebieten, die man im Mathematikunterricht behandelte. Wenn es damals überhaupt schon Gymnasien gab, bei denen es anders war, so war das auch dort sicherlich auf einzelne Mathematiklehrer beschränkt. Umfang und Bedeutung der Stochastik im heutigen Mathematikunterricht der Gymnasien lassen fragen, wann, aus welchen Gründen und in welcher Weise sich hier in den letzten 30 Jahren etwas verändert hat. Inwieweit dabei das Helmholtz-Gymnasium Bielefeld eine besondere Rolle gespielt hat, möchte ich -- aus Anlass des 100-jährigen Schuljubiläums -- auf den folgenden Seiten mit verdeutlichen.

Der Autor stellt zwei Stochastikaufgaben vor, die am Helmholtz-Gymnasium Bielefeld in Grundkurs-Abiturprüfungen eingesetzt wurden, und berichtet über die Erfahrungen mit diesen Aufgaben.

Die Autoren erarbeiten die grundlegenden Aussagen aus Ludwig Boltzmanns Artikel ''über die Beziehung zwischen dem zweiten Hauptsatz der mechanischen Wärmetheorie und der Wahrscheinlichkeitsrechnung respektive den Sätzen über das Wärmegleichgewicht'' aus dem Jahre 1877 mit den Hilfsmitteln elementarer Mathematik. Wir zeigen die Analogie zwischen dem Boltzmannschen Entropiebegriff in einem einfachen N-Teilchen Modell und dem Shannonschen Entropiebegriff aus der Informationstheorie auf. Die im Beweis verwendeten Methoden erlauben einen kleinen Einblick in die sogenannte ''Theorie der großen Abweichungen''.

In Humenberger (1996) wurde das Problem näher beleuchtet, warum die Auftrittswahrscheinlichkeit P(k) einer Ziffer k, als erste Ziffer einer Zufallszahl zu stehen, nicht für alle 9 möglichen Ziffern jeweils 1/9 beträgt, sondern von 1 bis 9 abnimmt nach einem logarithmischen Gesetz, das nach Benford benannt ist. Dieses Gesetz gilt für beliebige ''physikalische Konstanten'' als mögliche Zufallszahlen, wie sich aus der Forderung nach Skaleninvarianz ergibt. Statt reellen Zahlen kann man zunächst natürliche Zahlen als potentielle Zufallswerte nehmen und fragen, wie dann die Auftrittswahrscheinlichkeiten sich abschätzen lassen. Genau dies ist der Inhalt dieses Ergänzungsbeitrages, der ausschließlich elementarste Schulmathematik enthält und uns dadurch für selbständige Schüleraktivitäten besonders geeignet erscheint.

Es handelt sich um Ergänzungen zu Isaac Newton -- Der moderne statistische Berater (Heft 2/1996). Das im Artikel von Leslie Glickman behandelte Problem von Pepys wird in einen allgemeineren Rahmen gestellt und dabei untersucht, ob die von Newton gefundene Monotonie noch zutrifft, wenn man 1. statt der Würfel andere Zufallsgeräte jeweils gleicher Art zulässt, 2. diese Zufallsgeräte mischt, oder 3. die ursprüngliche Anzahl der Würfel beständig erhöht. Und schließlich ist der Autor überzeugt, dass Newton das Wartezeitexperiment nicht richtig gelöst hat.

Aids-Tests finden mit hoher Zuverlässigkeit Infizierte unter den Untersuchten und klassifizieren mit hoher Sicherheit Nicht- Infizierte als solche. Trotzdem bedeutet ein positives Testergebnis nur mit einer Wahrscheinlichkeit von rund 9%, dass eine Infektion vorliegt. Der Sachverhalt wird hier aufgeklärt und ein doch brauchbarer Umgang mit dem Test vorgeschlagen.

Daten für die hundert größten Städte der Welt werden vorgestellt. Sie bilden den Teil einer Fallstudie, in deren Rahmen Studenten in Explorativer Datenanalyse unterrichtet wurden, aber sie sind auch von zusätzlichem Interesse, da sie den Blick auf Armut und Unterentwicklung in der Dritten Welt und den Kontrast zum Wohlstand der Ersten Welt richten.

Der Autor befaßt sich mit der Interpretation statistischer Aussagen, er stellt dieses Hintergrundthema sehr unterrichtsnah an Beispielen dar. Er polarisiert zwischen statistischer und inhaltlicher Prüfung von Hypothesen. Nach erfolgter statistischer Absicherung muß eine inhaltliche Prüfung anschließen.

Die Problematik,Arbeitslosigkeit' wird sicher im Unterricht der allgemeinbildenden Schulen aufgegriffen. Die Entwicklung der Arbeitslosenzahlen hängt vor allem von der konjunkturellen Lage und von strukturellen wirtschaftlichen Gegebenheiten ab. Im Verlauf eines Jahres jedoch unterliegt sie in einem erheblichen Umfange saisonalen Einflüssen. Durch die Quantifizierung dieser Saisoneinflüsse, durch die Beschreibung einer Saisonfigur und durch die Saisonbereinigung gelingt es, die Entwicklung der Arbeitslosenzahlen relativ gut zu beschreiben und schließlich auch den Trend zufriedenstellend abzuschätzen. Im Aufsatz werden zwei elementare Verfahren vorgestellt, die auf der Zerlegung in Komponenten beruhen. Schwerpunktmäßig werden mögliche Unterrichtsgänge bis hin zur Saisonbereinigung dargestellt. In einem weiteren Aufsatz wird der Verfasser am Beispiel der monatlichen Arbeitslosenzahlen eine andere Art der Zeitreihenanalyse vorstellen, nämlich das erweiterte exponentielle Glätten.

Im Analysisunterricht lernen die Schüler, den Graphen zu einer gegebenen Zuordnungsvorschrift zu zeichnen. In diesem Beitrag wird die Umkehrung betrachtet: Zu einer gegebenen Punktmenge soll eine dazu passende Funktionsgleichung bestimmt werden. Die Behandlung von mehrdimensionalen Zufallsgrößen ist sinnvoll, da mit den Begriffen Regression und Korrelation bedeutende Mathematisierungsmuster zur Verfügung stehen. Hier können Schüler vor allem beim Sammeln, Darstellen und Auswerten des Datenmaterials, aber auch im Entdecken und Interpretieren von Zusammenhängen vielfältige Aktivitäten entwickeln.

In Ergänzung des Aufsatzes ''Zog Pepys falsche Schlüsse? Und hat Newton recht?'' (Heft 3/1997) von R. Haller wird dargelegt, dass es bei einem von Newton behandelten Wartezeitproblem nicht darauf ankommt, wer zuerst wirft (letzteres glaubte Newton).

Es wird eine Unterrichtseinheit beschrieben, in der der begriffliche Unterschied zwischen relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit gemacht werden soll. In Niedersachsen ist dies Thema in der 7. Klasse. Die Schülerinnen und Schüler benötigen keine stochastischen Vorkenntnisse. Sie sollen mit Bruchzahlen, Dezimalzahlen, evtl. auch bereits mit Prozenten sicher umgehen können. Es wird eine erprobte Unterrichtseinheit vorgestellt, in der Schülerinnen und Schüler in einem lebendigen Lernprozess Wesentliches untereinander aushandeln können.

Die Frage nach der gerechten Aufteilung des gesamten Einsatzes bei vorzeitigem Abbruch eines Glücksspiels (problème des parties) sieht nicht nur am Anfang der relativ kurzen Entwicklungsgeschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung, das Problem eignet sich auch in hervorragender Weise zu einer adäquaten Begriffsbildung bei Schülerinnen und Schülern im Stochastikunterricht. Dies kann zu einem genetischen Zugang unter Einsatz vielfältiger, selbständiger Schüleraktivitäten mit geeigneten Real- und Computerexperimenten und durch eindrucksvolle Visualisierung (u.a. am Galton-Brett und sogar am Sierpinski-Dreieck) geschehen.

Es werden Probleme diskutiert, die bei der Berechnung von Bereichswahrscheinlichkeiten im Modell der Binomialverteilung auftreten, wenn die betrachteten Bernoulli-Ketten besonders lang sind. Berichtet wird über Erfahrungen mit der expliziten und der rekursiven Gleichung zur Berechnung von Einzelwahrscheinlichkeiten und von Bereichswahrscheinlichkeiten beim Einsatz unterschiedlicher Hard- und Software. Ausführlich wird ein Algorithmus erläutert, der über die Grenzen der expliziten wie der rekursiven Gleichung hinaus Berechnungen ermöglicht. Den Abschluss bilden didaktische Reflexionen zum Computereinsetz im Stochastikunterricht, vor allem unter der didaktischen Vorgabe, motivierende und praxisnahe Fragestellungen bereits im Modell der Binomialverteilung zu behandeln.

Anmerkungen zu G. Schmitdts Artikel 'Experimenteller und anschaulicher Stochastikunterricht'

Bei internationalen Fußballpokalwettbewerben interessiert die Fans - wenn mehrere Vereine aus einem Land teilnehmen - bei der Auslosung vielleicht die Frage, wie wahrscheinlich ein Zusammentreffen aus diesem Land ist. Einige Beispiele dazu aus der Fußballgeschichte werden aus deutscher Sicht betrachtet.

Diskussion eines "Zeit"-Artikels von Gunter Sachs mit dem Titel: "Die Sterne der Liebe. Eine Statistik der Eheschließungen zeigt: So ohne ist Astrologie nicht". Auf der Grundlage von Daten aus der Schweiz folgert Sachs, Dass "zwischen den Sternen beziehungsweise dem zyklischen Verlauf unseres Sonnensystems und den Eheschließungen Schweizer Bürger zwischen 1987 und 1994 ein Zusammenhang besteht". Die inferenzstatistische Argumentation in diesem Artikel wird kritisch untersucht.

Auf eine kurze Einführung über Interpretationen von Wahrscheinlichkeiten folgen im zweiten Teil heuristische Untersuchungen des Verhaltens der relativen Häufigkeit sowie didaktische Überlegungen zum schwachen Gesetz der großen Zahlen. Im dritten Teil wird über Schwierigkeiten im Umgang mit diesem Gesetz berichtet, dem im letzten Teil eine mögliche Unterrichtssequenz für einen Leistungskurs in der S II zur Behandlung des Gesetzes der großen Zahlen im Rahmen des Schätzens einer unbekannten Wahrscheinlichkeit folgt.

... Das Buch 'Stochastik für Einsteiger' wird der Zielgruppe gerecht. Es ist eine bewußte Einschränkung auf elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. Doch wird der Leser, der als Anfänger dies durchgearbeitet hat, sicher das Bedürfnis verspüren, sich noch intensiver mit dieser interessanten Wissenschaft zu beschäftigen. ..

Unter dem Titel "Glaubenskrieg um Krümmel" beschreibt Gerd Rosenkranz in einem sehr lesenswerten Zeitungsartikel (Rosenkranz 1998) den Stand der Auseinandersetzung um die Frage, ob Atomanlagen Leukämie bei Kindern verursachen oder nicht. Dabei spielt eine wichtige Rolle, ob Daten signifikante Häufungen aufweisen und welche Schlüsse man daraus ableiten kann. Von diesem Artikel habe ich mich anregen lassen und ein Fallbeispiel konstruiert, an dem ich mit Schülern arbeiten kann: signifikante Häufungen feststellen, sehen, wie damit argumentiert wird, erfahren, daß statistische Aussagen letztlich keine abschließenden Antworten geben.

Mittels Simulation wird eine wichtige Beziehung zwischen Poisson- und Exponentialverteilung gezeigt: Wenn die Anzahl der Ereignisse in einem Intervall nach Poisson verteilt ist mit einem Parameter, der proportional zur Länge des Intervalls ist, dann ist die Wartezeit auf das nächste Ereignis exponentialverteilt.

Es wird ein Unterrichtskonzept beschrieben, in dem die Rechnersimulation eines stochastischen Problems vermittelnd zwischen seine Realsimulation und der wahrscheinlichkeitstheoretischen Lösung gestellt wird. Dadurch motiviert, eine zur Lösung hinreichend große Anzahl an Simulationen durchführen zu können, wird ein Computerprogramm erstellt, dessen Struktur ein entsprechendes Baumdiagramm in wesentlichen Teilen vorwegnimmt.

Griffiths schreibt in einem Leserbrief an Teaching Statistics: Ich dachte, Sie und Ihre Leser könnten an diesem Lied interessiert sein, das ich während meiner Forschungen über die Arbeit des klassischen alten Blues-Sängers Gatemouth Johnson ausgegraben habe, der untertags natürlich einen Job als Statistiker bei den Mississippi-Wasserwerken hatte. Das Lied heißt "The Type I / Type II Error Blues" und, soweit ich Gatemouth verstehe, bedeutet: H0: die Behauptung, der Angeklagte ist unschuldig; H1: die Behauptung, der Angeklagte ist schuldig. Der Held, Reggie Hotshot (steht hier für Ablehnen von H0, wenn H0 wahr ist), ist einem Fehler 1. Art zum Opfer gefallen, ...

Griffiths präsentiert den "Error Blues", in dem das Ergebnis einer Verhandlung für den einen Angeklagten einen Fehler 1. und für den anderen einen Fehler 2. Art darstellt. Dies verschafft eine wunderbare Gelegenheit, mit Studenten die verschiedenen Möglichkeiten von Fehlern 1. und 2. Art beim statistischen Testen zu erforschen. Angenommen, zwei Forscher testen dieselbe Hypothese an derselben Grundgesamtheit, aber mit verschiedenen Stichproben.

Die in der Überschrift formulierte Gleichung besagt, daß die Gaußsche Glockenkurve in der richtigen Normierung eine Wahrscheinlichkeitsdichte darstellt; das macht die Aussage für die Stochastik interessant. Sie zu beweisen, ist nichttrivial; eine Möglichkeit dafür - auf anschaulichem Niveau - wird hier beschrieben. In einem leistungsstarken Kurs läßt sich dies nachvollziehen. Im Anschluß an diese - vom höheren Niveau aus - lediglich als Beweisskizze einzuordnende Überlegung wird einerseits auf deren Lückenhaftigkeit hingewiesen; andererseits wird die (didaktische) Fraglichkeit der (mathematischen) Lücke diskutiert. Schließlich wird auf weitere Beweismöglichkeiten hingewiesen.

Der Artikel bietet einen neuen Zugang, das schwierige Konzept der bedingten Wahrscheinlichkeit zu unterrichten. Die Betonung liegt dabei auf Unterrichten und Schließen. Als technische Hilfsmittel werden Venn-Diagramme und Baumdiagramme eingesetzt.

Wir haben nunmehr eine Diskussionsliste, die eng mit der Zeitschrift Teaching Statistics verbunden ist. "Diese Liste ist für jene, die sich mit einführendem Unterricht in Statistik beschäftigen, egal in welcher Phase der Ausbildung. Sie wird sich auf Teaching Statistics beziehen und soll Diskussionen ermöglichen, wie man Unterricht und Lernen von Statistik wirksamer macht." Um sich in die Liste einzuschreiben, genügt es, subscribe teaching-statistics Vorname Name an mailbase@mailbase.ac.uk zu schreiben.

Beispiele sollen aufzeigen, wie Unabhängigkeit in statistische Fragestellungen hineinkommt. Es wird geprüft, wie Unabhängigkeit in Lehrbüchern abgedeckt wird.

Dieser Text behandelt alle Themen des A-Level-Curriculums und einer einführenden Vorlesung an der Universität. [ ] Jedes neue Kapitel wird mit einer verbalen (intuitiven) Erklärung und einem Beispiel begonnen, dann folgt eine mehr algebraische Darstellung, schlußendlich eine Herleitung mit Beweis. Dies ist besonders attraktiv für Studenten, die gerade das GCSE absolviert haben und noch nicht an die formale Darstellung in der Mathematik gewohnt sind. Das Buch bietet jedoch auch für die herausfordernden Studenten ausreichende Strenge. ...

Der Begriff der Stochastik faßt zwei Disziplinen zusammen, ... Das vorgelegte Lehrbuch ist für Neulinge auf dem Gebiet der Stochastik gedacht und richtet sich vornehmlich an Lehramtsstudenten. Es wird aber auch von Studierenden anderer Richtungen mit Gewinn genutzt werden können. Es ist ein mathematisches Lehrbuch in gut lesbarer und studierbarer Form. Der Autor beschränkt sich auf die für das Verständnis und erste Anwendungen der Stochastik notwendigsten Begriffe und Aussagen, ergänzt sie durch zahlreiche illustrative Beispiele und Aufgaben und ermöglicht so eine erste nähere Bekanntschaft mit diesem reizvollen und lehrreichen Gebiet.

Durch Reduzierung der Felder-Anzahl des bekannten Spiels "Schlangen und Leitern", durch Verwendung anders geformter oder beschrifteter Würfel, Veränderung der Spielregeln, andere Anordnung der Schlangen und Leitern werden Fragen aufgeworfen, die Schüler zum Ende der Sekundarstufe 1 interessieren und bewältigen können.

Das populäre Computer-Spiel Solitaire wird als Vehikel für die Untersuchung eines Zufallszahlen-Generators eingesetzt. Die Erforschung seiner Eigenschaften ist eine geeignete Basis für ein schulbezogenes Projekt.

Es wird der Vorschlag gemacht, im Unterricht über Beschreibende Statistik mit einfachen nichtprobabilistischen Repräsentativitätsüberlegungen den Nenner n-1 für den erwartungstreuen Varianzschätzer plausibel zu machen.

Benutzt man die Spreadsheet-Funktion SUMPRODUCT, hinter der sich die Skalarprodukt-Bildung verbirgt, kann man die Wahrscheinlichkeiten der Summen unabhängiger diskreter Zufalls-Variablen berechnen lassen. Dadurch können Schüler spezielle Eigenschaften der Summen von Binomial- und Poisson-Verteilungen bestätigen. Auch liefert sie eine Methode, um die Verteilung der Summe zweier oder mehrerer beliebiger Zufalls-Variablen zu berechnen. Zusätzlich gibt sie dem Schüler ein Hilfsmittel an die Hand zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten aus der Differenz von Zufalls-Variablen und damit der Wahrscheinlichkeit, dass eine Variable (um einen gewissen Betrag) "besser" ist als die andere.

Anknüpfend an den Beitrag Isaac Newton - der moderne statistische Berater von Glickman 1996 und die darauf bezogenen Ergänzungen von Haller 1997 und Henze 1998 werden verschiedene Interpretationen der von Pepys gestellten Aufgabe diskutiert. Die Version von Haller wird als Markow-Kette behandelt; damit lässt sich Newtons ursprüngliche Auffassung der Aufgabe als Wartezeitproblem ohne die Verwendung von geometrischen Reihen lösen. Interpretiert man Newton etwas anders als Haller, so zeigt sich, daß die Chancen der Spieler - im Gegensatz zu den früher behandelten Versionen - durchaus davon abhängig sind, wer das Spiel beginnt.

Für Pepy' Wartezeitproblem sowie für eine von Riehl [s.o.] betrachtete Variante dieses Problems werden die Gewinnwahrscheinlichkeiten und die Verteilungen der Spieldauern mit elementaren Methoden bestimmt.

Murphys Gesetz sagt, wenn etwas schief gehen kann, geht es auch schief. Konkret übertragen auf Landkarten heißt dies: wenn ein gesuchter Ort an einer ungünstigen Stelle auf einer Karte liegen kann, dann wird er es auch. Dies wird mittels Geometrie und Wahrscheinlichkeitsrechnung gezeigt.

Ein Simulationsmodell wird vorgestellt und diskutiert, das illustriert, warum im öffentlichen Personenverkehr kumulative Verschiebungen im Fahrplan eintreten, wenn die Wartezeit an Haltestellen mit der Anzahl der wartenden Fahrgäste wächst. Der zufällige Effekt ist die Anzahl der pro Zeittakt an den Haltestellen eintreffenden Fahrgäste. Dazu wird ein allgemein verfügbares Computerprogramm vorgestellt, bei dem einflussreiche Parameter vom Nutzer gewählt werden können.

Es wird ein Unterrichtsgang beschrieben, in dem die Schüler ihre Kenntnisse über Permutationen und Kombinationen durch Problemlösen gewinnen. Die Schüler bearbeiten eine Anwendungsaufgabe und entwickeln dabei ein konzeptionelles Verständnis.

Dieser Aufsatz stellt zwei Kursprojekte vor, die beim Testen von Hypothesen einsetzbar sind. Im ersten Projekt müssen Studenten Daten sammeln, mit dem Ziel, einen Unterschied im Mittelwert der Schokoladensplitter pro Plätzchen (Kekse) bei zwei Sorten zu überprüfen. Ferner sind Daten gesammelt (2. Projekt) worden, um einen Unterschied bei Geschmackseinstufungen zu untersuchen.

Hunt (1997) führte die Fähigkeiten von MS-EXCEL vor, statistische Tabellen der am häufigsten auftretenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu erzeugen. Ein weiterer Vorzug von EXCEL liegt darin, einfache Modelle zu entwickeln und sie an Studenten zu verteilen, welche klare visuelle Darstellungen einer gewählten Wahrscheinlichkeitsverteilung liefern. Diese Modelle ermöglichen dann den Studenten durch Vergleichen die Auswirkungen von Parameteränderungen zu erkunden.

In diesem Aufsatz wird ein unterrichtlicher Zugang zu geschichteten Zufallsstichproben präsentiert. Insbesondere haben die Autoren die Erfahrung gemacht, dass die vorgestellte Übung als hilfreiche Einführung dient und Schülern hilft, ein konzeptionelles Verständnis dieses Verfahrens zu entwickeln. Dies erleichtert die Diskussion um die Charakteristika und Nutzungsmöglichkeiten der verschiedensten Stichprobenverfahren. Die Übung erreicht dieses Ziel auf intuitivem Wege und kann daher in der Sekundarstufe II wie auch in elementaren Statistikkursen an Hochschulen eingesetzt werden.

Die Vielfalt der Schreibweisen von Namen russischer Mathematiker in der deutschsprachigen Literatur ist erstaunlich groß, aber keineswegs gerechtfertigt und eigentlich ärgerlich. Ohne Bedenken scheint man sich an englische bzw. französische Schreibweisen anzulehnen. Transkription und Transliteration weisen jedoch jeweils einen Weg, wie man kyrillisch geschriebene Namen exakt im Deutschen wiedergeben kann. Am Beispiel des in der Stochastik wegen einer (von Bienaymé gefundenen) Ungleichung immer wieder zitierten russischen Mathematikers wird die Problematik deutlich gemacht.

Berichtet wird über Planung, Durchführung und Auswertung eines Tagespraktikums 'Stochastik in der SII', bestehend aus einem Seminar und laufenden Unterrichtsbesuchen während des WS 97/98. Die Ausführungen werden ergänzt durch Auszüge aus drei Praktikumsberichten.

Wer versucht, Geschichte der Mathematik in den Unterricht mit einzubeziehen, trifft meist auf reges Interesse bei den Schülerinnen und Schülern. In diesem Aufsatz wird Material dargestellt, das im Zusammenhang mit der Frage nach den Anfängen der Stochastik als selbständiges Gebiet innerhalb der Mathematik zusammengestellt wurde. Der Beitrag gliedert sich nach Fragen, die von Lernenden häufig gestellt werden: Welche Personen waren beteiligt? Welche Probleme wurden damals diskutiert? Worin bestand das Neuartige? Warum setzt man die Geburt der Stochastik im Jahre 1654 an? Gab es vorher keine Stochastik oder kein stochastisches Denken? Am Ende des Beitrags werden Vorschläge zur Einbettung in den Unterricht gemacht. Zur Einsicht in die historischen Dokumente als Anhang zum Artikel klicken Sie bitte hier.

Vorgestellt werden für die Aufgabe die unterrichtlichen Voraussetzungen, die Aufgabenstellung, eine kurze Darstellung einer möglichen Lösung, die Ergebnisse der Arbeit sowie einige Antworten der Schülerinnen und Schüler.

Es werden einige Begründungslücken diskutiert, die sich im neuen Unterricht über Beschreibende Statistik in Klasse 11 des Gymnasiums in Nordrhein-Westfalen seines nicht-probabilistischen Charakters ergeben.

Es wird über einen an österreichischen Schulen ausgeschriebenen Wettbewerb berichtet. Die gezeigten Posters sind Siegerposter von vor zwei Jahren. Für potentielle OrganisatorInnen wird ein Vorbild für ein Anmeldeformular gezeigt. Weitere Informationen erhält man unter http://www.osg.or.at

21.-24. März 2000 an der Universität Hamburg. Nähere Informationen: http://stoch2000.math.uni-hamburg.de/

Der hier vorgestellte Unterrichtsgang gibt Schülern die Gelegenheit, ... Begriffsbildungen zu verstehen " (S.15 mitte). Das verspricht pädagogisch interessant zu werden. Wie werden die Schwierigkeiten gemeistert, die üblicherweise dem entgegenwirken? ....

Wir wollen ein Phänomen näher beleuchten, das sich auf Serien von Münzwürfen, wie z.B. KAKKAKAAAK… bezieht. Stellt man unvoreingenommen die Frage, welches der Muster KAKA oder AKAA das ''wahrscheinlichere'' sei, so kann man zu völlig verschiedenen Ergebnissen gelangen. Wir setzen dabei voraus, dass es sich um einen Bernoulli-Versuch handelt Im folgenden wollen wir dieses Phänomen zunächst in einer einfachen Version (zweigliedrige Muster) auf Schulniveau behandeln, und zwar unter Zuhilfenahme bedingter Erwartungswerte. Daran anschliessend betrachten wir drei- und viergliedrige Muster, wobei dort insbesondere ein ''unfaires Spiel'' im Zentrum der Betrachtungen steht.

Es wird gezeigt, mit welchen Ideen für das genannte Problem eine Rekursionsformel mit zwei Parametern, eine Rekursionsformel mit einem Parameter und eine explizite Formel entwickelt werden können.

Das Thema Bedingte Erwartungswerte ist in der didaktischen Literatur nicht oft zu finden. Es ist daher kein Wunder, dass sie in vielen Stochastikkursen für Schüler fehlen. Dies ist insbesondere dann ''schade'', wenn in einem Stochastikkurs sowohl bedingte Wahrscheinlichkeiten als auch Erwartungswerte besprochen werden. Die fehlende Symbiose zum bedingten Erwartungswert ist mit wenig zusätzlichem Aufwand verbunden, öffnet aber eine viele Anwendungsmöglichkeiten. Es wird ein intuitiver Zugang zu bedingten Erwartungswerten (in Analogie zu bedingten Wahrscheinlichkeiten) gewählt, der mit einer abstrakten Definition des bedingten Erwartungswertes verträglich ist. Es folgen einige kurze Beispiele, die das ''Potential'' von bedingten Erwartungswerten illustrieren.

Die abgedruckten Aufgaben wurden als Klausuraufgaben in einem Grundkurs Stochastik der Stufe 13 gestellt bzw. im Rahmen der mündlichen Abiturprüfungen einzelnen Schülerinnen und Schülern vorgelegt. Vorausgehender Unterricht und Ergebnisse werden diskutiert.

Vorgestellt werden für die genannte Aufgabe die unterschiedlichen Voraussetzungen, die Aufgabenstellung, eine mögliche Lösung der Aufgabe sowie die Schwierigkeiten bei der Bewertung der Schülerarbeiten.

Die Aufgabe, einen minimalen Stichprobenumfang zu bestimmen, stellt ein häufig gestelltes Problem für Klausuren in der gymnasialen Oberstufe und auch in der schriftlichen Abiturprüfung dar. Sie ist auch deshalb so beliebt, weil man in ihrer Bearbeitung mehr als nur das Abarbeiten von elementaren Routinen sieht, so dass man sie in der Regel als Anforderung höheren Schwierigkeitsgrades ausweist. In der Praxis werden jedoch häufig beim Lösen dieser Aufgabe unabdingbare Überlegungen und unverzichtbare Untersuchungen vernachlässigt. (Abstract)

Das Ziel dieser Arbeit ist es, die Poisson-Approximation der Binomial-Verteilung genauer zu untersuchen. Mit einfachen Methoden, die in der Fachwelt Kopplungsmethoden genannt werden, kann man die Güte der Konvergenz beim klassischen Poissonschen Grenzwertsatz bewerten. Wir diskutieren hier eine sehr einfache Kopplungsmethode. Weiter wollen wir herausarbeiten, dass gerade bei der Poisson-Approximation eine Aussage über die Güte der Annäherung von fundamentaler Bedeutung ist. Das benötigte mathematische Handwerkzeug geht über das Niveau eines Leistungskurses nicht hinaus.

Riemer eröffnet hiermit eine Diskussion über die Frage, wie man in Regression und Korrelation am günstigsten einführt. der Briefwechsel zwischen ihm und Diepgen ist hier zusammengefasst.

Diepgen antwortet Riemer in der Sache "Regression und Korrelation". Die Diskussion wird in SiS 2001-1 beendet.

In dieser Parodie, die sich über sechs Briefe zwischen einem Doktoranden und einem Professor erstreckt, geht es um den kritischen Umgang mit Quoten, Abweichungen von Durchschnittswerten und um die Allgemeingültigkeit gängiger Schlussfolgerungen aus statistischen Daten.

Wenn man die Varianz ''mittelwertfrei'' über die quadratischen Abweichungen der Messwerte voneinander einführt, stellt sich die Frage, ob man dabei die Abweichungen jeweils der Messwerte von sich selbst -- a priori alle ohnehin gleich null -- berücksichtigen sollte oder nicht. Einige didaktische Aspekte dieser Frage werden diskutiert.

Die Vereinten Nationen veröffentlichen seit einigen Jahren den Index für menschliche Armut. Dieser Index fasst verschiedene menschliche Einschränkungen zusammen. Zur Berechnung wird ein spezieller alpha-Durchschnitt herangezogen. a-Durchschnitte verallgemeinern bekannte Mittelwertansätze. Sie weisen besondere statistische Eigenschaften auf.

%%Txt