In dieser Arbeit wird der Frage nach dem Erwartungswert der Wartezeit auf ein Muster unter verschiedenen fachlichen und fachdidaktischen Gesichtspunkten nachgegangen. Wir zeigen zunächst, dass die von Engel als zweite Mittelwertsregel bezeichnete Formel zur Lösung dieses Problems eine unmittelbare Konsequenz des Satzes vom totalen Erwartungswert ist. In Abschnitt 3 werden für den einfachsten Fall des Wartens auf den ersten Treffer in einer Bernoulli-Kette verschiedene Ansätze zur (begrifflichen) Bestimmung des Erwartungswertes der Wartezeit vorgestellt. Abschnitt 4 diskutiert die Tragfähigkeit der verschiedenen Methoden im Hinblick auf die Bestimmung des Erwartungswertes der Wartezeit für ein allgemeines Muster. Besonderes Augenmerk verdient die Sichtweise des Erwartungswertes als mittlere Länge eines fairen Spiels, bei dem auf das Auftreten eines interessierenden Musters gewettet wird. In Abschnitt 5 wird eine Möglichkeit vorgestellt, wie die Auftrittswahrscheinlichkeit eines Musters vor einem konkurrierenden Muster ohne Lösen eines linearen Gleichungssystems bestimmt werden kann. Die Arbeit schliesst mit einigen Literaturhinweisen zum Umfeld der behandelten Themen.

Ein allgemeines Verfahren zur Lösung des 'Monty Hall Problems' mittels Wahrscheinlichkeitsmatrizen wird vorgestellt und eine n-dimensionale Verallgemeinerung wird gegeben. Einst unter der etwas düsteren Bezeichnung als das Problem der drei Gefangenen bekannt, die auf ihre Hinrichtung warten (Gardner, 1957), wird es nun gewöhnlich (siehe Selvin 1975) als 'Monty Hall Problem' bezeichnet und ist in den glücklicheren und mehr entscheidungstheoretisch ausgerichteten Kontext einer populären amerikanischen Spiel-Show der 60-er Jahre verlegt. Mehr zum Thema findet man auch unter

In diesem Aufsatz werden einige interessante Resultate über intransitive Würfel (mit n Seitenflächen) vorgestellt.

Dieser Aufsatz beschreibt, wie Piktogramme mit Hilfe von Microsoft Excel erstellt werden können. Die in diesem Aufsatz verwendeten Daten sind die (vielleicht überraschenden) Prozentsätze der des Lesens und Schreibens kundigen Bevölkerung in den Ländern des südlichen Afrikas. Alphabetenrate ist hier definiert als der Prozentsatz der Bevölkerung über 15 Jahren, der lesen und schreiben kann.

Dieser Aufsatz zeigt, dass eine statistisch hoch signifikante Korrelation zwischen der Anzahl der Störche und der Geburtenrate in den Ländern Europas besteht. Während Störche aber keine Babys zur Welt bringen können, kann eine unbedachte Interpretation von Korrelation und p-Werten sehr wohl zu unzulässigen Schlüssen führen.

Der Einsatz von Simulationen als Unterrichtsmittel kann ein vertieftes begriffliches und konzeptionelles Verstehen von Statistik unterstützen, es kann aber auch zu Fehlvorstellungen führen. Unterrichtende müssen sich der Missverständnisse bewusst sein, die aus dem Einsatz von Simulationen resultieren können und die Lernumgebung sorgfältig strukturieren, so dass die Vorzüge dieses mächtigen Unterrichtsmittels zum Tragen kommen.

IASE, die 'International Association for Statistical Education', fördert, unterstützt und verbessert statistische Ausbildung auf allen Stufen weltweit. Die Gesellschaft ist eine internationale 'Dachorganisation' für statistische Ausbildung. Sie bündelt internationale Zusammenarbeit und regt Diskussion und Forschung an. Sie verbreitet Ideen, Strategien, Forschungsergebnisse, Materialien und Information durch Konferenzen und durch die Website http://www.stat.auckland.ac.nz/~iase/

Stein gibt einen stochastischen Zugang zu Summenformeln für die geometrischen Reihen 1. und 2. Art.

Mehr über Statistik und Humor findet man unter
http://www.ilstu.edu/~gcramsey/Gallery.html

 

In diesem Artikel wird das Modell zufälliger Graphen betrachtet. Es entspricht einem Münzwurfmodell und liefert interessante sprunghaft auftretende Phänomene, die man Phasenübergänge nennt. Das Modell des Zufallsgraphens kann in der Schule durch folgende Modellierung motiviert werden: Es seien allgemein n Punkte vorgegeben, je zwei können mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit p miteinander durch eine Verbindungsstrecke verbunden werden. Die Modellierung erfolgt durch Münzwurf.

Stochastische Such- und Optimierungsalgorithmen lassen sich oft effizienter zur Lösung konkreter mathematischer Aufgaben einsetzen als 'klassische' numerische oder enumerative Verfahren. Dies wird an dem Beispiel einer Denksportaufgabe aus dem Stern-Magazin, dem die Rätsel-Gleichung des Titels entstammt, veranschaulicht. Die mathematische Denksportaufgabe lautet: 'Das Chaos bei der Bush-und/oder-Gore-Wahl verdient sicherlich eine Rüge, so sehen es zumindest Vertreter der Politomathematik. Ihre Formel BUSH + GORE + CHAOS = RüGE lässt sich in eine schlüssige Gleichung verwandeln, indem ihre Buchstaben durch Ziffern - gleiche Buchstaben durch gleiche, verschiedene durch verschiedene Ziffern - ersetzt werden. Unter den sechs möglichen Lösungen wird diejenige gesucht, bei der das CHAOS am größten ist' - wobei im doppeldeutigen Sinne hier die numerisch größte Lösung gemeint ist.

Mathematikunterricht ist zu einem großen Teil Problemlöseunterricht. Der große Einfluss von Aufgabenformulierung und Erklärungshilfen auf den Lernerfolg und die Problemlösefähigkeit sind aber auch genuinerUntersuchungsgegenstand der Kognitionspsychologie. Im Bereich des stochastischen Denkens wurden in letzter Zeit bei dem Versuch, Bayesianische Aufgabenstellungen auf eine verständliche Art zu formulieren, wichtige Fortschritte erzielt (siehe z.B. Wassner, Krauss und Martignon, 2001). Anhand des berühmten 'Drei-Türen-Problems' (auch: 'Ziegenproblem' oder 'Monty-Hall-Dilemma') zeigen wir exemplarisch neueste Ansätze, wie man kognitionspsychologische Erkenntnisse für den Stochastikunterricht nutzbar machen kann.

Der Artikel modelliert eine interessante politische Schulsituation, die die Ideen des Testen von Hypothesen verdeutlichen kann. Wieviel "ausgezeichnet" sollen in einer Klasse mit n Schülern akzeptiert werden ohne dass der Lehrer als "Softie" oder "Weichei" bezeichnet wird.

Unterrichtsideen zum Thema Stochastik unter:
http://www.learn-line.nrw.de/angebote/selma/foyer/uebersichten/uebersicht_mathematik.htm

Daten der Straßenverkehrsunfälle liefern Beispiele für Auflistungen und Zeitreihen.

Dieser Artikel beschreibt, wie ein Graphikrechner (Taschenrechner mit möglicher graphischer Darstellung) von Schülern und Studenten zum Thema Normalverteilung verwendet werden kann. Er behandelt auch die Probleme, die beim Ersetzen der statistischen Tafelwerke auftreten.

Die Vielfalt an Lösungsmöglichkeiten bei dieser Aufgabe soll besser herausgearbeitet werden.

www.fernuni-hagen.de/STATISTIK

Anregungen zum Stochastik-Unterricht: Die NCTM-Standards 2000; Klassische und Bayessche Sichtweise im Vergleich

 

Wir diskutieren ein interessantes Lehrexperiment im Rahmen des Modells des n-fachen unabhängigen Münzwurfs. Die Anzahl von Erfolgssträhnen ist dabei das entscheidende Maß für den Zufall. Das Experiment geht zurück auf Renyi. Es ermöglicht eine Vertiefung der Intuition zum Münzwurfexperiment und kann als eine sinnvolle Ergänzung zum schwachen Gesetz der großen Zahlen gesehen werden.

Wir diskutieren eine in der Literatur fast in Vergessenheit geratene Formel von de Moivre zur Berechnung des absoluten Fehlers zwischen der relativen Häufigkeit und dem Erwartungswert in einer Bernoulli-Kette. Dabei geben wir eine historische Übersicht über die Entwicklung dieser Formel Bezug nehmend auf einen Artikel von Persi Diaconis und Sandy Zabell in Statistical Science.

Angeregt durch eine Arbeit Eichelsbachers "Eine Diskussion der Faustregel von Laplace" in Stochastik in der Schule 21(2001), S.22-27, wird die didaktische und anwendungsrelevante Bedeutung von Faustregeln zur Beurteilung der Approximierbarkeit von Binomialverteilungen durch Normal-und Poissonverteilungen begründet.

Vorgestellt werden Überlegungen zur Vorbereitung einer Unterrichtsreihe zur Statistik , in der Methoden und Begriffe der explorativen Datenanalyse EDA benutzt werden, ebenso Arbeitsergebnisse aus dem Unterricht sowie Beobachtungen beim Umgang mit den Begriffen und Methoden der EDA.

Mit dieser Arbeit wird auf einfache Weise gezeigt, dass der Korrelationskoeffizient (sowohl der empirische als auch der theoretische) immer zwischen -1 und +1 ist.

Zufallsphänomene kommen sehr häufig in unserem Leben vor. Auch Grundschulkinder werden außerhalb der Schule schon früh damit konfrontiert. Deshalb wird in verschiedenen Veröffentlichungen (vgl. u.a. Müller/Wittmann 1977, Grünewald 1991, Kütting 1994) die Forderung erhoben, stochastische Aufgaben schon in den Unterricht der Grundschule zu integrieren. Als Argumente dafür werden meist neben der bereits erwähnten frühen Begegnung mit Zufällen und Wahrscheinlichkeiten angeführt, dass vollständiges Verstehen des Wahrscheinlichkeitsbegriffes Zeit braucht und eine kontinuierliche Beschäftigung mit diesem im Sinne des Spiralprinzips erfordert, und einfache Begriffe und Aussagen der Wahrscheinlichkeit besonders in jüngeren Schulklassen gut spielerisch-experimentell erschlossen werden können. Dazu wird ein Unterrichtsversuch diskutiert, bei dem das Verhalten von Schülern einer 4. Klasse bei einer Aufgabe zur Beurteilung der Gewinnchancen bei einem Würfelspiel untersucht werden.

Anknüpfend an einen Beitrag in SiS 21 (2001) 2 diskutiert der Autor einige Aspekte des Problemfeldes Korrelation und Kausalität, mündend in einer Skizze eines Unterrichts über lineare Modelle zur kausalen Interpretation korrelativer Zusammenhänge.

 

In Siena (Toskana, Norditalien) findet jährlich ein sehr berühmtes Pferderennen mit einer schon jahrhundertelangen Tradition statt, der sogenannte 'Palio di Siena' (kurz: Palio): Ein waghalsiges Rennen auf ungesattelten Pferden rund um die Piazza del Campo; es dauert jeweils nur ca. 1(1/2) Minuten, wobei allerdings dieses Rennen von zahlreichen traditionellen (tagelangen!) Zeremonien umrahmt wird. Bei jedem 'Palio' müssen die jeweiligen 10 Teilnehmer aus 17 möglichen Kandidaten gewählt werden. Es wird gezeigt, wie mögliche Auswahlvorgänge modelliert werden können und wie diese Fragestellung in natürlicher Weise das Tor zu Markoff-Ketten öffnet. CAS-Einsatz ermöglicht den Schülerinnen und Schülern selbständiges Entdecken einiger Phänomene, wodurch in ihnen ein Begründungsbedürfnis geweckt werden kann.

In der Stochastik 3/2000 ist das Testen von Hypothesen vom Bayesianischen Standpunkt vom Autor besprochen worden. Dabei hat die Binomialverteilung als Versuchsverteilung fungiert. Auch ein verteilungsfreies Testverfahren, der Vorzeichentest, ist dort Bayesianisch zur Sprache gekommen. In dieser Arbeit soll jene Thematik der beurteilenden Statistik anhand von weniger im Stochastikunterricht verbreiteten Verteilungen, nämlich der Multinomial- und der Poisson-Verteilung wiederum Bayesianisch dargestellt werden. Auch diesmal wird sich zeigen, dass Berechnungen, die sich in natürlicher Weise aus der Problemstellung ergeben, mit Hilfe von DERIVE nahezu mühelos bewältigt werden können. Ebenso wird die Erzeugung von Funktionsgraphen zur Verdeutlichung der stochastischen Situation gelingen. Schließlich wird noch kurz auf das (Bayesianische) Schätzen von Parametern, die zweite wichtige Thematik der beurteilenden Statistik in der Schule, eingegangen.

Die LK-Abituraufgabe unterscheidet sich von anderen Abituraufgaben dadurch, dass die Prüflinge in dieser Aufgabe einen Textabschnitt aus einem Buch von N. Henze ('Stochastik für Einsteiger') analysieren müssen. Neben der Aufgabenstellung und einer möglichen Lösung wird über die unterrichtlichen Voraussetzungen und Erfahrungen mit der Aufgabe berichtet.

Signifikanztests, so die im Beitrag vertretene These, werden durchgeführt, wenn man fast keine Information über die vorliegende Situation hat, mit der Folge, dass man sich mit Antworten auf falsch gestellte Fragen zufrieden geben muss, aber auf die eigentlich interessierenden Fragen keine Antwort erhält. Der Schlüssel zur Vermeidung der üblichen Fehler im Unterricht könnte in dem Hinweis liegen, dass Schülerinnen und Schüler dazu neigen, die richtigen Fragen zu stellen.

In 'Stochastik in der Schule 2/1992' beschreibt Georg Schrage, wie man die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass genau drei Personen aus einer Gruppe von n Personen am gleichen Tag Geburtstag feiern. Die dort entwickelte Rekursionsformel soll hier nun so erweitert werden, dass man eine Formel erhält, mit der die Wahrscheinlichkeit berechnet werden kann, dass k Personen am gleichen Tag Geburtstag haben. Des weiteren ist es mit der Formel dann sogar möglich, die Wahrscheinlichkeiten für weitere Konstellationen von Geburtstagen zu berechnen.

Drei Punkte einer unendlichen Ebene werden zufällig ausgewählt. Finde die Wahrscheinlichkeit, dass die Punkte die Eckpunkte eines stumpfwinkligen Dreiecks sind. Es wird gezeigt, dass CARROLL's scheinbar richtige Lösung dieses Wahrscheinlichkeitsproblems die Lösung eines anderen Problems ist, das auf sinnvollen Annahmen beruht. Die ursprünglichen Annahmen sind in sich widersprüchlich und führen zu paradoxen Ergebnissen.

 

Dieser Artikel warnt an Hand zweier Beispiele vor schlecht angelegten Graphen in der Deskriptiven Statistik.

Erfahrungsgemäss ist die für Wahrscheinlichkeitstheorie vorgesehene Zeit in der Lehrerausbildung, sowohl in Ungarn als auch in österreich, zu knapp bemessen. Dies führt dazu, dass ein exakter Beweis des zentralen Grenzverteilungssatzes nur auf Kosten anderer Themen geführt werden könnte. Erschwerend kommt dazu, dass den Lehramtsstudenten oft ein ausreichender mathematischer Hintergrund fehlt. Wir schlagen deshalb einen anderen Weg vor, nämlich das Verhalten des Zufalls an Beispielen zu demonstrieren, die die Studenten selbst üben können. Dabei nutzen wir die durch das Internet gegebenen Möglichkeiten über beliebige Datenmengen verfügen zu können.

Software für Tabellenkalkulation krankt oft daran, dass sie für Explorative Datenanalyse nicht oder nur rudimentär einsetzbar ist. Hunt (1996) führt aus, wie einfache Boxplots mit Hilfe des Diagramm-Assistenten von Excel gezeichnet werden können. Ziel dieses Beitrages ist es zu zeigen, mit welchen kleinen Tricks Punkte- und Stängel-Diagramme erstellbar sind.

Dieser Artikel behandelt den Korrelations-Koeffizienten beim Münzen-Werfen mit einem Ergebnis, das der Intuition zuwiderläuft.

Die Modelle des Finanzmanagements beschreiben drei Phänomene: Dynamik, Risiko und Korrelationen (DRK-Modell). Die analytische Behandlung ist nur in relativ einfachen Spezialfällen möglich. In der Praxis ist häufig die Simulation an Stelle von unrealistischen Vereinfachungen die sinnvollere Alternative. Im Unterricht tritt die Simulation sogar bei relativ einfachen Aufgaben durchaus in Konkurrenz zum analytischen Vorgehen, da sie als spielerische Variante zumeist anschaulicher und in der Regel motivierender ist. Bei vielen Problemen der Stochastik ist die Simulation vielleicht nicht die elegantere, sicher aber die überzeugendere Methode. Als inhaltliche Erweiterung liefert die Finanzmathematik für den Mathematikunterricht interessantes Material. Exemplarisch sei die Bewertung von Optionen (Black-Scholes-Formel) genannt. Allein die Fragestellung, durch welchen Zufallsprozess man den Kursverlauf einer Aktie modellieren soll, um ihn dann zu simulieren, bildet eine anregende Ausgangssituation. Ergänzt um ein Glossar von H. Kilian.

Im Rahmen des Projekts 'e-stat' (www.emilea.de), das vom Bundesministerium für Bildung und Forschung (bmb+f) im Programm 'Neue Medien in der Bildung (Förderbereich Hochschulen)' seit April 2001 mit einer Laufzeit von drei Jahren gefördert wird, wird eine Übersicht über die im Internet verfügbaren Statistik-Hilfsmittel wie auch über Schulbücher und CD-ROM-Angebote erstellt. Beschreibung des Projektes und viele Internetseitenangaben und Literaturhinweise.

Kurzvorstellung des Programms STOCHASTIK, einem neuen, sehr schulnahen und unkomplizierten Shareware-Programm für den Stochastikunterricht in den Sekundarstufen, das sich auf das Wesentliche beschränkt.

Der Autor kritisiert den Vorschlag von Krauss und Wassner, den weitverbreiteten Missverständnissen über den Signifikanztest durch einen Unterricht vorzubeugen, der vor allem das Bayessche Konzept P(H|D) dem (angeblich) signifikanztestspezifischen Konzept P(D|H) gegenüberstellt. Der Vorschlag wurde publiziert in Stochastik in der Schule Heft 1/2001, S. 29-34.

 

Die Geschichte der Mathematik hält zahlreiche Anekdoten bereit, in denen sich Mathematiker durch scheinbar einfache Wahrscheinlichkeitsaufgaben in die Irre führen ließen. Mittlerweile sind in der Stochastik eine Fülle von Aufgaben bekannt, deren Ergebnisse sich besonders hartnäckig der menschlichen Intuition widersetzen. Psychologen untersuchen Aufgaben dieser Art im Rahmen der Forschung zu "kognitiven Täuschungen". Eine kognitive Täuschung liegt vor, wenn die menschliche Intuition stark und systematisch von einem normativ korrekten Ergebnis abweicht. Solche Täuschungen sind besonders im Bereich der bedingten Wahrscheinlichkeiten und des Satzes von Bayes bekannt. Die aktuelle kognitionspsychologische Forschung hat nun einen Weg gefunden, wie man die beim Satz von Bayes oftmals auftauchenden Widersprüche zwischen Intuition und richtiger Lösung "reparieren" und so zu einem echten Verständnis des Konzepts der bedingten Wahrscheinlichkeiten gelangen kann. Dieses Verfahren findet derzeit bereits in der Medizin und in der Rechtsprechung - wo oftmals unter Unsicherheit "Bayesianische" Entscheidungen getroffen werden müssen - viel Aufmerksamkeit. Der vorliegende Beitrag stellt dieses Verfahren vor und zeigt, welche Bedeutung es auch für die Didaktik der Stochastik haben kann.

Wir präsentieren einen komplexen Datensatz und dazugehörige Materialien ( www.mathematik.uni-kassel.de/didaktik/muffins), die wir für computergestützten Stochastikunterricht entwickelt haben, der sich stark an den Ideen der Explorativen Datenanalyse orientiert, welche in jüngster Zeit auch unter dem Gesichtspunkt der Entwicklung statistischer Kompetenz und von Daten orientierten Zugängen zur Mathematik aufgegriffen wird. Beispielhafte Auswertungsmöglichkeiten sowie didaktischen Ideen für neue Akzente im Stochastikunterricht werden vorgestellt. Wir haben einen Fragebogen entwickelt, mit dem wir Schülerinnen und Schüler nach ihrer Mediennutzung und nach ihrem Freizeitverhalten befragen. Die bereits vorliegenden authentischen Daten können im Unterricht verwendet werden. Der Datensatz kann im Unterricht zu verschiedenen Zwecken eingesetzt werden: als Beispielmaterial für die Entwicklung von Begriffen, als Material für 'Minianwendungen' oder um komplexere 'Entdeckungsreisen' in die Daten im Sinne der Explorativen Datenanalyse zu unternehmen.

Das nachfolgend vorgestellte Projekt wurde im Oktober 2001 im Rahmen eines Schüleraustauschs einer 10. Klasse des Freiherr-vom-Stein- Gymnasiums in Bünde mit 26 Schülerinnen und Schülern und 18 Schülerinnen und Schülern einer Gesamtschule aus Stockholm durchgeführt. Ziel war es, dass die Schülerinnen und Schüler mit Hilfe elementarer Methoden der Beschreibenden Statistik Informationen über die Freizeitgestaltung ihrer Austauschpartner erhalten. Grundlage dazu bildete ein Fragebogen, der in dem ebenfalls in diesem Heft erschienen Artikel "MUFFINS: Statistik mit komplexen Datensätzen - Freizeitgestaltung und Mediennutzung von Jugendlichen" von Biehler, Kombrink und Schweynoch beschreiben wird. "MUFFINS steht für Medien- und Freizeitgestaltung für interessanten Stochastikunterricht". Im Folgenden stelle ich einige allgemeine organisatorische Aspekte dar, die bei der Planung und Durchführung eines solchen Projekts zu beachten sind, präsentiere aber auch interessante Ergebnisse, die die Schülerinnen und Schüler entdeckt haben.

Ergänzende Anmerkungen zum Testen von Hypothesen.

 

Wir analysieren ein derzeit nicht nur in Casinos, sondern auch bei allen MS-Windows Benutzern sehr beliebtes Kartenspiel - Patience - in einer sehr einfachen Version. Es zeigt sich, dass die optimale Strategie in diesem Spiel zu einem viel diskutierten Thema der modernen Wahrscheinlichkeitstheorie führt, der Länge der längsten wachsenden Teilfolge einer zufälligen Permutation.

Dieser Artikel gibt eine elementar-didaktische, nuancierte Aufarbeitung der Fragestellung, ob man den ungewissen zukünftigen Aktienkursverlauf beliebig stochastisch modellieren darf. Diese Aufarbeitung ist fast direkt für den fortgeschrittenen Schulunterricht einsetzbar, weil bewusst eine einfache, möglichst nicht-fachspezifische, und bedeutungsnahe Wortwahl verwendet wird, so dass für das Verständnis der hier behandelten Problematik keine ökonomischen und nur geringe probabilistische Vorkenntnisse vorausgesetzt werden müssen. Die gewählte Darstellungsweise sollte den Schülern bei der Festigung der folgenden mathematischen Fähigkeiten helfen: Die Erstellung von abstrahierenden Problembeschreibungen (deswegen wurden hier - bis auf zwei kleine Ausnahmen - bewusst keine expliziten Rechenbeispiele verwendet), die Beachtung von geringfügigen mathematischen Unterschieden, die Kunst der einfachen Beweisführung und Logik (inklusive des Ansatz- und des Analogieschluss-Gedankens), sowie der Umgang mit Ungleichungen und Ungleichungsketten.

Nach einer schrittweisen Einführung in das Verfahren der Oddset-Wette werden Gewinnwahrscheinlichkeiten und Erwartungswerte berechnet - bis hin zu der ernüchternden Erkenntnis, dass mit zunehmender Spielezahl der zu erwartende prozentuale Gewinn exponentiell abnimmt. Ein Unterrichtsbeitrag zur Aufklärung über den Mythos von Glücksspielen.

Wir analysieren das so genannte Paradoxon der zwei Umschläge : Vor die Wahl gestellt, zwischen einem Umschlag zu wählen, in dem man einen Betrag vorgefunden hat, und einem anderen, der entweder die Hälfte oder das Doppelte des gefundenen Betrages enthält, scheint es stets günstiger zu tauschen. Wir geben eine probabilistische Analyse des Problems.

Normalerweise konzentriert sich die außenstehende Bewertung von Schulstatistiken auf Basisfähigkeiten. Dieser Artikel diskutiert, wie die Verwendung der realen Daten von Census-At School es ermöglicht, Fragen und Tätigkeiten zu entwickeln, die tiefere Ebenen des Verstehens bewerten, wie sie in Blooms Taxonomie des Kognitiven Lernens beschrieben werden.

Der Autor kritisiert die in den Schulbüchern zumeist übliche Einführung von Varianz und Standardabweichung als unmodern, uninteressant, unehrlich, wenig beziehungshaltig und damit kaum bildungswirksam; er skizziert Alternativen dazu.

 

Ausgehend von den Schwierigkeiten, zu bestimmten Ereignissen die Wahrscheinlichkeit mit Hilfe des jeweiligen Gegenereignisses zu berechnen, wurden Schüler und Studierende danach gefragt, was sie mit den Begriffen 'Ereignis' und 'Gegenereignis' verbinden, ob das Gegenereignis etwas mit einem Gegenteil zu tun hat und was das Gegenereignis bzw. Gegenteil in einer bestimmten Situation sei. Die Befragung zeigt zwei unterschiedliche Antwortansätze für das 'Gegenteil', die beide ihre Bedeutung haben. Geht es um die Berechnung der zugehörigen Wahrscheinlichkeit, muss genau differenziert werden, was nur eine gegenteilige Betrachtung der gleichen Situation ist und was wirklich 'Gegenereignis' genannt werden sollte.

Nach der Vermittlung des in den Richtlinien verlangten Orientierungswissens Stochastik und zusätzlich einer Einführung in den Chi-Quadrat-Test habe ich die Klausur gestellt zu den Schwerpunkten: Parameter-Test, Alpha, Beta-Fehler, Chi-Quadrat-Test, Vergleich und Kritik der Testergebnisse.

Die Goldbachsche Vermutung wird mit Methoden der Stochastik untersucht. Es besteht kaum eine Chance, dass die Goldbachsche Vermutung jemals falsch ist. Um diese Idee zu präzisieren, benötigen wir das Gaußsche Gesetz über die Verteilung der Primzahlen. Die Formel von Gauß kann verwendet werden, um so etwas herzuleiten, wie die 'Wahrscheinlichkeit', dass eine zufällig gezogene ungerade Zahl prim ist.

Der Aufsatz beschreibt und illustriert verschiedene Modelle der Randomized Response Technik, einer Methode, um bei Umfragen ehrliche Antworten auf sensible Fragen zu entlocken.

Bildungspolitische Stellungnahme zum Stochastikunterricht des Arbeitskreises Stochastik der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik. Diese ist auch zu finden unter: http://www.mathematik.uni-dortmund.de/ak-stoch/stellung.html

Ausfürliche Informationen einschließlich einer schriftlichen Fassung aller Vorträge sind verfügbar unter http://www.ph-ludwigsburg.de/iase/proceedings

 

EXCEL ist nicht nur ein Tabellenkalkulationsprogramm, sondern auch eine hervorragende Unterstützung z. B. bei Simulationen. Dies wird gezeigt bei der wahrscheinlichkeitstheoretischen Behandlung des Problems der Dreiteilung eines Stabes. Dieses lautet: Ein Stab der Länge Eins werde zufällig in drei Teile zerbrochen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass aus den drei Teilstücken ein Dreieck gebildet werden kann

Von Lewis Caroll stammt folgendes Problem der geometrischen Wahrscheinlichkeit: Drei Punkte werden zufällig in einer unendlichen Ebene gewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie die Ecken eines stumpfwinkligen Dreiecks sind. Das Problem wird analysiert und mittels Computersimulationen gelöst. In einem Ausblick werden analytische Lösungen skizziert.

Was 73 Postkarten, die aus Seoul zwischen dem 23. August und dem 1. September 2001 an eine Adresse in England geschickt wurden, über den Postdienst kundtun. Die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten werden über die Maximum-Likelihood-Schätzung bestimmt. Originalartikel und mehr unter http://www.maths.leeds.ac.uk/~sta6ajb/drep0111.pdf

Dieser Aufsatz beleuchtet ein nationales Lottospiel, bei dem der fünfte Preis wahrscheinlicher ist als der sechste.

So einfach sich zahlentheoretische Probleme oft formulieren lassen, so schwierig sind andererseits meist zugehörige Beweise, weshalb dieser interessante Zweig der Mathematik im Schulunterricht nur eine geringe Rolle spielt. Deshalb soll hier der Versuch unternommen werden, mit schulmathematischen Mitteln unter Verwendung eines naiven Wahrscheinlichkeitsbegriffs Plausibilitäten für wesentliche zahlentheoretische Erkenntnisse herzuleiten. Da diese Überlegungen meist zu quantitativen Aussagen führen, können diese mit Computerhilfe leicht bis in den sechs- bis neunstelligen Bereich (oder gar darüber hinaus) überprüft werden. Diese "experimentelle" Untersuchung zahlentheoretischer Fragestellungen durch Kombination von Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung, der Analysis und der Informatik sollte sich zu disziplinübergreifenden Wiederholungen, zur Behandlung in Arbeitsgemeinschaften, aber auch zur Themengewinnung für Facharbeiten eignen.

http://www.www.isi2003.de

http://www.mathematik.uni-dortmund.de/ak-stoch/

 

Lernen mit Unsicherheit zu leben - statistisches Denken - ist der wichtigste Teil der Mathematik im wirklichen Leben. Denken ist das Hinterfragen von Gewissheiten, und man lernt es anhand von guten Beispielen. Zu den besten gehören jene Probleme, welche die Entwicklung des statistischen Denkens tatsächlich geprägt haben. Genau dies ist das Programm meines Artikels.

Die nächste Sitzung des Arbeitskreises findet in Kassel (Reinhardswaldschule) vom 5.-7.11.2004 statt.Thema: Anwendungen der Stochastik außerhalb der Mathematik. Hauptvortrag von N. Knoche (Essen): Das Rasch-Modell (bekannt aus TIMMS und PISA). Mehr Information unter http://www.mathematik.uni-dortmund.de/ak-stoch/naechste.html

Es geht in diesem Beitrag um Unterrichtseinheiten, bei denen schnell Daten gewonnen oder bereitgestellt werden können, außerdem um Fragen, die sich Lernenden geradezu aufdrängen, und die sie geklärt wissen wollen. Wie sich dabei Begriffe, Methoden und Darstellungsarten der Statistik, auch die der explorativen Datenanalyse einsetzen lassen, wird in diesem Beitrag dargestellt, ebenso Hilfen, die ein zumindest graphikfähiger Taschenrechner bietet.

In der Beschreibenden Statistik kommen häufig Quadratsummen vor. Deutet man diese als Skalarprodukte, so lassen sich manche Aussagen über Mittelwerte, Varianzen oder über Regressionskoeffizienten in durchsichtiger Weise vektorgeometrisch deuten und beweisen. Auch zur Matrizenrechnung wird ein Zusammenhang hergestellt. Behandelt werden die Themenkomplexe Minimalität des arithmetischen Mittels, Regressionsgeraden und Regressionsparabeln. Auch zur Lagebeziehung von arithmetischem Mittel und Median wird ein Zusammenhang hergestellt.

... Verständlich und kurzweilig unterbreitet Gigerenzer Vorschläge, wie der Einzelne sein Verständnis von Risiken und Wahrscheinlichkeit verbessern kann, um letztlich den unvermeidlichen Ungewissheiten im Leben souveräner und gelassener zu begegnen.

 

Die nächste Mitgliederversammlung findet anlässlich des AK "Stochastik" der GDM in Kassel statt. Mehr Information im Programm des Arbeitskreises unter http://www.mathematik.uni-dortmund.de/ak-stoch/naechste.html

 

Aus der Geschichte unserer Zeitschrift von den Anfängen 1979 bis heute.

Was am gegenwärtigen Stochastikunterricht allgemeinbildend ist bzw. wie man ihn in dieser Hinsicht voranbringen könnte, wird ausgehend von seinen Inhalten, seinen Zielen und fundamentalen Ideen nacheinander untersucht. Dabei wird deutlich, daß ein Rückgang auf das pädagogische Konzept der Bildung und auf deren Grundstruktur unerläßlich ist. Dann aber erweist sich der Beitrag dieses Unterrichts für den Allgemeinbildungsauftrag der Schule insgesamt und des Mathematikunterrichts im Besonderen als unverzichtbar.

Mit Hilfe eines Tabellenkalkulationssystems wie z.B. EXCEL können grundlegende Begriffe der Statistik in ganz neuer Form erarbeitet und insbesondere visualisiert werden. Dieser Aufsatz liefert zum einen Beispiele, die in das Thema "Explorative Datenanalyse" einführen. Zum anderen gibt er Anregungen für das Erarbeiten von Begrifflichkeiten und deren Zusammenhängen bei dem umfangreichen Thema "Regression und Korrelation". EXCEL erweist sich hier als ein variationsreiches Hilfsmittel, das auf eine Vielzahl unterschiedlicher Unterrichtssituationen und ihrer jeweiligen Erfordernisse elastisch reagiert. Die vorgestellten Materialien stehen im www zur Verfügung.

Standardfunktionen von Microsoft Excel und die Funktionalität von Mehrfachoperationen aus dem Menü Daten > Tabelle werden für Randomisierungs-Anwendungen ausgenützt, um aus vorhandenen Stichproben neuerlich Stichproben mit und ohne Zurücklegen zu entnehmen.

Ausgehend von einleitenden Bemerkungen zur stochastischen Modellbildung werden Erfahrungen dargestellt, die die Autoren mit der Genueser Lotterie im Rahmen der universitären Lehramtsausbildung gemacht haben. Der offene Arbeitsauftrag, diese Lotterie zu analysieren, stellt sich als produktiver Lernanlass heraus und ruft fast zwangsläufig verschiedene Ansätze zur Modellbildung hervor. Diese verschiedenen Ansätze stehen für unterschiedliche Perspektiven auf die Situation. Ähnliche Phänomene lassen sich aus strukturellen Gründen bei klassischen Urnenaufgaben und der gerade erst in Deutschland zugelassenen Keno Lotterie finden. Mit den genannten Kontexten ist jeweils ein erhebliches Potenzial für die Gestaltung eines zeitgemäßen Mathematikunterrichts verbunden, der sich an aktuellen fachdidaktischen Konzeptionen orientiert, der von den Phänomenen ausgeht und der mathematische Theoriebildung zum Ziel hat.

Das staatliche Lotto wird häufig als ein Spiel mit reinem Zufall gekennzeichnet, welches keinen Spielraum für Strategien offen lässt. Diese Fehlauffassung scheint aus der Anwendung von Wahrscheinlichkeit anstelle von Erwartungswert-Betrachtungen herzurühren und kann dazu benützt werden, um das statistische Konzept des Erwartungswerts einzuführen.

Ausgehend von Simulationen wird das "Paradoxon der zwei Umschläge", das Löwe (2003) unter dem Titel "Wer tauscht gewinnt" behandelt hat, genauer analysiert. Dabei zeigt sich, dass man in keinem Fall die Gewinnerwartung durch Tauschen erhöhen kann.