|
Stochastik
in der Schule |
|
Kurzfassungen
8. Jahrgang 1988 |
|
|
Heft 1: Thema 'Regression und Korrelation'
M. Borovcnik: Korrelation und Regression - ein inhaltlicher Zugang zu den grundlegenden mathematischen Konzepten
Der Autor gibt eine leicht verständliche
Einführung in das Themengebiet. Der Korrelationskoeffizient wird zunächst
graphisch als Dicke von Punktwolken gedeutet. Die sogenannte s-Gerade verbindet
gleich 'extreme' Werte der unabhängigen und der abhängigen Variablen
miteinander. Der Korrelationskoeffizient erscheint als Faktor, um den die
Regressionsgerade flacher als die s-Gerade ist. Sein Quadrat mißt die Reduktion
der Varianz der abhängigen Variablen, wenn man bei ihrer Voraussage den
Zusammenhang zur unabhängigen Variablen und deren bekannten Wert ausnützt. Auf
Fehldeutungen des Korrelationskoeffizienten wird ausführlich eingegangen.
S. M. Goode und E. J.
Gold: Lineare Regression und Korrelation - ein elementarer Zugang
Die Autoren leiten die Parameter der
Regressionsgleichung sowie einige wesentliche mathematische Eigenschaften des
Korrelationskoeffizienten auf elementarem Wege her. Dazu wird die Transformation
X = x- und Y = y- vorgenommen und die Regressionsgerade Y = mX + c durch
quadratische Ergänzung der Residuen bestimmt.
Im Unterricht von Regressions- und
Korrelationsrechnung sowie in der Anwendung geht man oft rasch von Ergebnissen
im Stil der Beschreibenden Statistik zu Tests oder Vertrauensintervallen über.
'Die lineare Beziehung zwischen X und Y ist statistisch gesichert' ist eine
typische Aussage. Um überhaupt solche Aussagen analysieren zu können, müssen
eine Reihe von mathematischen Voraussetzungen erfüllt sein. Der Autor stellt
diese dar und gibt eine elementare, graphische Methode zu deren Prüfung.
Heft 2: Thema 'Regression und Korrelation'
H. D. Vohmann: Lineare
Regression und Korrelation in einem Einführungskurs über empirische Methoden
Der Autor gibt einen Arbeitstext zum Thema
Regression und Korrelation. Die Besonderheiten daran sind: Der
Themenzusammenhang wird handlungs- und anwendungsorientiert erschlossen.
Ausgangspunkt ist der Begriff des Normalgewichts, das idealerweise linear von
der Körpergröße abhängt. Obwohl die Regressionsgerade und weitere Beziehungen
ohne Differentialrechnung hergeleitet werden, kommt die mathematische
Darstellung nicht zu kurz. Der Kurs wurde am Oberstufenkolleg erprobt.
M. Borovcnik: Methode
der kleinsten Quadrate
Der Autor gibt mathematische Ergänzungen
zum inhaltlichen Zugang zu Regression und Korrelation in Heft 1. Die
mathematisch hergeleiteten Beziehungen geben wertvolle Interpretationen für den
Korrelationskoeffizienten etwa als Anteil der durch Regression erklärten
Varianz der abhängigen Variablen.
Anhand von wiederholten Wurfserien mit
zwei Würfeln wird klar gemacht, welchen Schwankungen der
Korrelationskoeffizient von Stichprobe zu Stichprobe unterworfen ist. Besonders
bei kleinen Stichproben kann er erheblich vom tatsächlichen Wert abweichen. Zur
Demonstration der Problematik bietet es sich an, die Daten des Würfelns vom PC
erzeugen zu lassen.
Zur Wiederholung und Vertiefung der
Einsicht über die Grundlagen der Regression schlägt der Autor die Beschränkung
auf nur 3 Punkte vor. Durch geschickte Wahl der Punkte läßt sich die Bedeutung
der wichtigsten Begriffe wie Varianzen, Residuen und Korrelationskoeffizient
erklären.
Die Bibliographie zum Thema wurde nach
folgenden Gebieten untergliedert: 1) Grundsätzliche Diskussion und methodische
Überlegungen. 2) Interpretation der Konzepte und Voraussetzungen. 3) Beispiele
für den Unterricht. 4) Querverbindungen zu Geometrie und Linearer Algebra. 5)
Andere Zugänge. 6) Einsatz des Computers.
B. Kröpfl:
Unterrichtseinheit 'Fernsehgewohnheiten'
Der Autor stellt die zugrundeliegenden
Ideen einer Unterrichtseinheit in Beschreibender Statistik dar. Diese ist zwar
für die 6. oder 7. Schulstufe konzipiert, kann aber mit geringfügigen
Änderungen für alle Altersstufen angepaßt werden. Typisch für die Konzeption
ist ein offener Unterricht, in dem alle Schüler sowohl inhaltlich als auch
methodisch so weit wie möglich eigenständig arbeiten.
M. Rouncefield: Kann man
auf die (N+1)/2 - Regel beim Schätzen des Medians bei klassierten Daten
verzichten?
Sind die Daten klassiert, so muß man die
Formel für den Median modifizieren. Eigentlich kann man aber dann auf die Formel
verzichten und den Median graphisch bestimmen.
R. E. LeMon: Töne: Eine
weitere bildhafte Darstellungsweise in der Stochastik
Der Autor beschreibt, wie man einen
Graphik-Equalizer zur Veranschaulichung von statistischen Verteilungen nutzen
kann. Das Erlebnis von Bild und Ton ergibt einen Gag für den Unterricht.
J. J. Lageard: Wie kann
man mit einem Rechenblatt das Verarbeiten bivariater Daten lehren?
Der Korrelationskoeffizient ändert sich
nicht, wenn man die Daten zweier Serien einer linearen Transformation
unterwirft. Das kann man anhand von Spreadsheets einfach verfolgen. Man merkt
auch, daß gewisse Transformationen die Daten und damit die Berechnungen
erheblich vereinfachen.
V. Lindenau: Einfache
Simulationsmodelle für Warteschlangen
Der Autor behandelt Warteschlangenprobleme
für die Klassen 8 und 9. Die Ankünfte erfolgen dabei gemäß einem
Poisson-Prozeß, die Bedienungszeiten sind exponentiell verteilt. Zu gegebener
Ankunftsrate und Bedienungsrate gewinnt man durch Simulation Folgen von Ankunftszeiten
und Bedienungszeiten, aus denen rekursiv die Wartezeiten berechnet werden.
Daraus wird die durchschnittliche Länge der Warteschlange berechnet. Durch
Variation der Parameter findet man experimentell den mathematischen
Zusammenhang zwischen der durchschnittlichen Länge und den Eingangsparametern.