Stochastik in der Schule

Kurzfassungen 7. Jahrgang 1987

Heft 1
H. Tamura	Umfrage über Kundenverteilung	5-11
D. Wilkie	Die Planung von Experimenten - dargestellt an Hand von Wiegebeispielen	12-19
T. Gordon	Ist die Standardabweichung an den Mittelwert gebunden?	20-23
J. Green und J. Round-Turner	Fehler beim Abschätzen kumulativer Binomial- und Poisson-Wahrscheinlichkeiten	24-31
T. W. Shilgalis	Zur Berechnung der Fehlerwahrscheinlichkeit 2. Art beim Hypothesentest	32-36
A. Müller	Beurteilung von zwei unabhängigen Stichproben im Unterricht	37-50
Heft 2
M. Mrowka	Die Breite der Binomialverteilung - ein elementarer Zugang	5-8
R. Diepgen	Sequentielles Testen - auch didaktisch vielleicht eine gute Alternative	9-25
H. Böer	Risiko von Atomkraftwerken	26-32
A. S. Hawkins	Zweckmäßige Bewertungen im Sport	33-40
P. J. Butt	Mikro-Welten aus Zufallsquadraten und Zufallsschlangen	41-48
Anonym	Abiturprüfung 1986, Bayern und Baden-Württemberg - Leistungskurs Mathematik	49-60
Heft 3
A. Plocki	Das Formulieren und Lösen von stochastischen Aufgaben als mathematisches Schaffen	2-23
H. Kilian	Bedingte Erwartungswerte im Stochastikunterricht	24-45

Heft 1 H. Tamura: Umfrage über Kundenverteilung Die Durchführung einer eigenen Studie ist ein wirkungsvoller Einstieg in die Statistik. Der Autor ließ seine Studenten eine Umfrage über die Verteilung der Kunden eines Lebensmittelmarktes durchführen. Ziel der Erhebung war es herauszufinden, aus welchem Einzugsgebiet die Kunden kommen. Die Untersuchung ist ausführlich beschrieben. Fragen der Verallgemeinerung der Ergebnisse stehen in Zusammenhang mit der Planung der Befragung.

D. Wilkie: Die Planung von Experimenten - dargestellt an Hand von Wiegebeispielen Wiegt man drei Gegenstände A, B und C und zum Vergleich die Ruhelage O der Waage je zweimal getrennt, so hat man 8 Messungen, das Gewicht jedes Gegenstands wird durch einen Mittelwert von 2 Daten geschätzt. Man kann die 8 Messungen auf ein multiplikatives Experiment verteilen: Man hat kombinatorisch 2x2x2 Möglichkeiten, die drei Gegenstände gemeinsam zu wägen. A kann allein oder mit B, mit C oder mit B und C gemeinsam gemessen werden. Die Schätzung von A ergibt sich hierbei als Mittelwert von 4 Messungen und ist daher genauer. Das Problem der wechselseitigen Beeinflussung (Interaktion) sowie die effiziente Verringerung des vollen multiplikativen Experiments durch Lateinische Quadrate wird dargestellt.

T. Gordon: Ist die Standardabweichung an den Mittelwert gebunden? Streuung von Daten kann als Abweichung der Daten untereinander oder als Abweichung der Daten von einem Bezugspunkt gemessen werden. Der Autor zeigt, daß die Standardabweichung beiden Interpretationen genügt. Der Mittelwert der quadrierten Abweichungen aller Paare von Daten ergibt nämlich genau die Varianz. Zeichnet man die Standardabweichung in ein Histogramm ein, so sollte sie dennoch am Mittelwert als Bezugspunkt angesetzt werden.

J. Green und J. Round-Turner: Fehler beim Abschätzen kumulativer Binomial- und Poisson-Wahrscheinlichkeiten Die Autoren geben Abschätzungen für die maximalen Fehler bei der Approximation der Binomialverteilung durch die Poisson- bzw. die Normalverteilung einerseits sowie andererseits bei der Approximation der Poissonverteilung durch die Normalverteilung an. Neben der Fehlerbetrachtung werden auch Bedingungen angegeben, wann die Approximation ausreichend ist. J. Green und J. T. W. Shilgalis: Zur Berechnung der Fehlerwahrscheinlichkeit 2. Art beim Hypothesentest Die Behandlung des Fehlers 2. Art ist nach den Erfahrungen des Autors ein schwieriges Unterfangen. Damit ist die Wahrscheinlichkeit ? für die irrtümliche Annahme der Nullhypothese, obwohl die Alternative zutrifft, gemeint. Der Artikel geht von einem praktischen Beispiel aus und zeigt, wie man mit Hilfe von PCs eine graphische Interpretation von ? erhält. Dabei wird auch der Einfluß des Stichprobenumfangs auf ? deutlich.

A. Müller: Beurteilung von zwei unabhängigen Stichproben im Unterricht Nichtparametrische Verfahren wie Rangsummentest, U-Test oder X-Test erlauben die Prüfung von Hypothesen, auch wenn die Annahme der Normalverteilung nicht erfüllt ist oder wenn die Daten nur auf einer Rangskala gemessen werden. Der Autor stellt seinen Unterricht zu diesem Thema vor. Ausgangspunkt ist der Vergleich der Lebensdauer von Zahnrädern aus einer Metallegierung oder aus Kunststoff. Neben der Darstellung der Verfahren und des Unterrichts gibt der Autor auch methodologische Anmerkungen.

Heft 2 M. Mrowka: Die Breite der Binomialverteilung - ein elementarer Zugang Der Autor nützt eine graphische Interpretation der Streuung zur Herleitung der Varianz Npq einer Binomialverteilung. Zuerst wird der Begriff eines Wendepunktes für das diskrete Stabdiagramm einer Binomialverteilung verallgemeinert. Der Abstand der Wendepunkte vom Zentrum der Verteilung kann als deren Breite aufgefaßt werden. Zur Bestimmung dieser Wendepunkte benötigt man nur quadratische Gleichungen. Die Überlegung dient indirekt der Rechtfertigung der Varianz als Maß für die Streuung, weil die graphische Interpretation sehr naheliegend ist.

R. Diepgen: Sequentielles Testen - auch didaktisch vielleicht eine gute Alternative Der Autor kritisiert die gängige Forschungspraxis des Hypothesentests, insbesondere weil sie den Fehler 2. Art nicht beachtet, sodaß Anwendungen oft zum leeren Ritual ausarten. Im sequentiellen Testen nach Wald sieht er eine Chance, die Logik statistischer Entscheidungen angemessen darzustellen. Dabei werden ? und ? vorab gewählt und der Reihe nach kleine Stichproben genommen, bis eine Entscheidung möglich ist. Das Verfahren wird für den Fall einer unbekannten Wahrscheinlichkeit vorgestellt; zu prüfen ist p0 gegen p1. Bei dieser Vorgangsweise kommt man mit geringeren Stichproben zu einer Entscheidung als beim gewöhnlichen Test. Abschließend werden didaktische Vorzüge dieses Zugangs zum Testen erörtert.

H. Böer: Risiko von Atomkraftwerken Der Autor hat das Risiko von Atomkraftwerken im Unterricht der Jahrgangsstufe 12 behandelt. Als Grundlage dienten dabei Originalartikel aus der Deutschen Risikostudie bzw. aus Zeitungen. Die Risikoberechnungen verleihen der Wahrscheinlichkeitsrechnung eine wichtige Rolle. Neben der formalen Berechnung war das Durchschauen der Berechnungsgrundlagen sehr wichtig. Der Autor verfolgt mit so einem Unterricht emanzipatorische Ziele: Schüler sollen kompetent mitreden können.

A. S. Hawkins: Zweckmäßige Bewertungen im Sport Bewertungssysteme spielen im Sport eine große Rolle. In manchen Sportarten kommt es nicht auf den objektiv feststellbaren besten Wert einer Serie von Einzelleistungen an, sondern man muß aus einer Reihe von subjektiven Bewertungen von Juroren eine einzelne Kennzahl für die Leistung ermitteln. Es kann den Unterricht in Beschreibender Statistik beleben, wenn man thematisiert, wie man zu solchen Kennzahlen kommt. Dies wird am Bewertungssystem im Turniertanz demonstriert.

P. J. Butt: Mikro-Welten aus Zufallsquadraten und Zufallsschlangen Spielt man in LOGO und erzeugt Zufallsquadrate oder Zufallsschlangen, so tauchen im Unterricht sehr bald eigentlich statistische Fragen auf. Wie viele Cluster entstehen am Bildschirm? Wie weit sind die Enden der Schlange voneinander entfernt? Das langsame Tempo der LOGO-Graphik wird eigenartigerweise im Unterricht zu einem Vorteil, weil die lange Entstehungsphase der Graphik die Fragen bei den Zuschauern richtig provoziert. Die Programme sind in Apple-LOGO und IWT-LOGO angegeben.

Anonym: Abiturprüfung 1986, Bayern und Baden-Württemberg - Leistungskurs Mathematik Die Bundesländer Bayern und Baden-Württemberg haben ein zentral organisiertes Abitur. Die Anforderungen, die dort gestellt werden, haben entsprechend verbindlichen Charakter.

Heft 3 A. Plocki: Das Formulieren und Lösen von stochastischen Aufgaben als mathematisches Schaffen Der Autor mißt Aufgaben eine Schlüsselrolle für den Unterricht zu und beklagt, daß zu häufig bereits die fertigen mathematischen Modelle in der Aufgabenstellung enthalten sind. Er stellt Situationen vor, die zur eigenen Entdeckung von Begriffen anregen sollen, und bespricht die Formen mathematischer Aktivität, die sich daran knüpfen. Insbesondere kommt der Wahrscheinlichkeit die Rolle der Verbesserung von Strategien zu.

H. Kilian: Bedingte Erwartungswerte im Stochastikunterricht Der Autor führt bedingte Erwartungswerte ein und behandelt deren Eigenschaften. Der totale Erwartungswert wird auf ein gewichtetes Mittel von bedingten Erwartungswerten unter einschränkenden Bedingungen zurückgeführt. Das klingt wie eine Fallunterscheidung und ist sehr hilfreich, wenn man in den einzelnen Fällen die Erwartungswerte berechnen kann. Damit bekommt man eine rekursive Handhabe, komplizierte Erwartungswerte zu berechnen. Das wird anhand von Beispielen illustriert.