Stochastik in der Schule

Kurzfassungen 4. Jahrgang 1984

Heft 1
A. C. Kimber	Bemerkungen zu Kontingenztafeln	3-7
E. Shoesmith	Ein einfaches Verfahren zur Gewinnung des Schaubilds der Gütefunktion	8-13
R. Beyth-Marom	Zur Wahl passender Parameter in der beschreibenden Statistik	14-19
P. Roos	Erwartungswert stetiger Zufallsvariablen - genau wie erwartet	20-26
G. Bung	Ein Kriterium für die Anwendbarkeit eines Näherungsverfahrens bei der Bestimmung von Konfidenzintervallen	27-28
H. G. Schönwald	Wahrscheinlichkeit und Wirklichkeiten - eine Bemerkung zur Wahrscheinlichkeitsrechnung in Klasse 6	29-34
B. Dudley	Die Markierungsmethode zur Schätzung der Populationsgröße	35-40
F. Eicker	Anmerkungen zu dem Artikel 'Umgehen mit dem Zufall' von B. Andelfinger	41-43
Heft 2
P. N. Deland und H. S. Shultz	Ein elementarer Zugang zum Erwartungswert	5-12
I. Birnbaum	Auf wie viele Stellen bestimmen wir den Mittelwert	13-17
L. Glickman	Familien, Kinder und Wahrscheinlichkeiten	18-23
H. K. Strick	Darstellung von Bundesliga-Tabellen	24-30
K. Mc Kelvie, D. Harding und J. Fellman	Einfache Bedingungen für die Approximation durch die Normalverteilung	31-34
H. G. Schönwald	Vom Problem des Chevalier de Méré zur Poisson-Verteilung	35-39
Heft 3	Schwerpunktthema ‚Abituraufgaben’
Autorenkollektiv	Sammlung von Abituraufgaben	3-94

Heft 1 A. C. Kimber: Bemerkungen zu Kontingenztafeln Die Analyse des Zusammenhangs zweier Merkmale ist schwierig. Teilt man die Merkmalswerte in Kategorien ein, so erhält man eine sogenannte Kontingenztafel, die man dann mittels ?2-Test prüfen kann. Ein auf diese Weise nachgewiesener Zusammenhang kann jedoch auch auf eine versteckte dritte Variable zurückzuführen sein. Der Autor gibt einige Beispiele für Fehlinterpretationen, die dadurch entstehen, daß man auf solche Ko-Variable vergißt.

E. Shoesmith: Ein einfaches Verfahren zur Gewinnung des Schaubilds der Gütefunktion Eine entscheidende Schwierigkeit beim Testen von Hypothesen ist die Asymmetrie von Null- und Alternativhypothese, die sich in den Testergebnissen 'H0 wird abgelehnt' und 'H0 wird nicht abgelehnt' widerspiegelt. Richtig verstehen kann man diese Asymmetrie nur, wenn man die Gütefunktion eines Tests einführt. Im Wahrscheinlichkeitsnetz hat die Verteilungsfunktion der Normalverteilung das Aussehen einer Geraden. Bezieht sich der Test auf Normalverteilungen, so ist die Gütefunktion gleich der 'normalen' Verteilungsfunktion und kann daher mit Vorteil in einem solchen Wahrscheinlichkeitsnetz vereinfacht und studiert werden.

R. Beyth-Marom: Zur Wahl passender Parameter in der beschreibenden Statistik Es wird eine Kriterienliste zur Wahl passender Lage- und Streuungsmaße sowie von Korrelationskoeffizienten vorgestellt. Berücksichtigt werden Skalentypen, die Verlustfunktionen sowie die Verteilung der Daten. Benötigt man die Maße für weiterführende statistische Analysen, so gibt es für Mittelwert und Standardabweichung kaum Alternativen.

P. Roos: Erwartungswert stetiger Zufallsvariablen - genau wie erwartet Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen kann leicht mit der Analogie von Wahrscheinlichkeit und relativer Häufigkeit motiviert werden. Beim Erwartungswert einer stetigen Variablen schwindelt man sich durch, indem man auf die analoge Rolle von diskreter Dichte und Dichtefunktion verweist. Hier wird der Übergang durch eine nachträgliche Diskretisierung der stetigen Variablen motiviert: Man hat die stetige Variable nur bis auf die Genauigkeit h gemessen. In einigen Beispielen wird die numerische Gleichheit der Erwartungswerte belegt. Anschließend wird der Übergang durch h ? 0 exaktifiziert, man kommt so zum Riemann-Integral für den Erwartungswert.

G. Bung: Ein Kriterium für die Anwendbarkeit eines Näherungsverfahrens bei der Bestimmung von Konfidenzintervallen Bei der numerischen Berechnung eines Konfidenzintervalles für den Parameter p einer Binomialverteilung hat man eine quadratische Ungleichung zu lösen. Stattdessen kann man sich für 0.3 < p < 0.7 mit einer Näherungslösung zufriedengeben. Hier wird ein weniger strenges Kriterium angegeben, bei dem die Näherungslösung dennoch ausreichende Genauigkeit erreicht.

H. G. Schönwald: Wahrscheinlichkeit und Wirklichkeiten - eine Bemerkung zur Wahrscheinlichkeitsrechnung in Klasse 6 Nach Ansicht des Autors sollen mathematische Begriffe so eingeführt werden, daß sie das, was Schüler ganz natürlich erleben, sinnvoll strukturieren. Er analysiert das Begriffspaar 'relative Häufigkeit - Wahrscheinlichkeit' und kommt zu dem Schluß, daß es besser durch die Gegenüberstellung 'wirklicher Anteil - wahrscheinlicher Anteil' ersetzt werden sollte.

B. Dudley: Die Markierungsmethode zur Schätzung der Populationsgröße Folgende Methode dient zur Schätzung des Bestands einer bestimmten Tierart: Man fängt einige Tiere, markiert sie und läßt sie wieder frei. Nach einiger Zeit sollten sie sich in der Population zufällig verteilt haben. Jetzt fängt man wieder einige Tiere. Der Anteil markierter Tiere in der Stichprobe wird auf die Grundgesamtheit übertragen und liefert die erforderliche Schätzung. Der Autor stellt ein Klassenexperiment dazu vor, das die Zahl aller bunten 'Smarties' in einer gekauften Schachtel rasch schätzen läßt.

F. Eicker: Anmerkungen zu dem Artikel 'Umgehen mit dem Zufall' von B. Andelfinger Der Autor plädiert für ein richtiges Augenmaß im Stochastikunterricht, damit die Stochastik nicht dasselbe Schicksal erleidet wie die Mengenlehre. Er verweist auf die anwendungsorientierten Techniken zur Analyse von Daten, die im Vergleich zu Wahrscheinlichkeitsberechnungen noch an Gewicht gewinnen sollten.

Heft 2 P. N. Deland und H. S. Shultz: Ein elementarer Zugang zum Erwartungswert Bei vielen Spielen ist der Erwartungswert erst durch eine abzählbare Summe zu berechnen, was Schülern die Berechnungen sehr erschwert. Hier wird ein rekursiver Zugang beschrieben, der den Erwartungswert zu Beginn in eine Gleichung mit den bedingten Erwartungswerten nach einem Experiment setzt. Können diese bedingten Erwartungswerte in Relation zum unbekannten Erwartungswert zu Beginn gesetzt werden, dann kann man diese Gleichung lösen. Damit kann man z.T. recht komplizierte Erwartungswerte einfach berechnen.

I. Birnbaum: Auf wie viele Stellen bestimmen wir den Mittelwert Sind die Daten auf zwei Dezimalen genau, so ist es nach Überlegungen zum Rundungsfehler möglich, den Mittelwert auch auf zwei Stellen genau anzugeben. Betrachtet man die Fortpflanzung des Rundungsfehlers statistisch, so ist eine Verbesserung der Genauigkeit auf vier Stellen zu erreichen. Diese Ergebnisse werden verallgemeinert auf beliebige Genauigkeit der Daten.

L. Glickman: Familien, Kinder und Wahrscheinlichkeiten Der Autor bedauert, daß man in der elementaren Wahrscheinlichkeitsrechnung den Begriff Grundraum nicht sorgfältig genug erarbeitet. Er führt drei verwandte Probleme vor, welche die Schwierigkeiten aufzeigen: a) Aus den Familien mit zwei Kindern wird zufällig eine ausgewählt, bei der eines der Kinder ein Junge ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das andere Kind ebenfalls ein Junge. b) Aus den Familien mit zwei Kindern wird zufällig eine ausgewählt, und dann wird zufällig eines der Kinder dieser Familie ausgewählt. Wenn dieses Kind ein Junge ist, so ist die Wahrscheinlichkeit gesucht, daß das andere Kind ebenfalls ein Junge ist. c) Aus allen Kindern von Familien mit zwei Kindern wird zufällig eines ausgewählt, und es ist ein Junge. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das andere Kind in seiner Familie ein Junge?

H. K. Strick: Darstellung von Bundesliga-Tabellen Um die Abschlußtabelle der Bundesliga zu rekonstruieren, reicht es, die Zahl der Siege und der Unentschieden zu kennen. Bei Punktegleichheit würden dann die Mannschaften auf denselben Platz gesetzt werden. Diese Daten kann man in ein rechtwinkeliges Koordinatennetz einzeichnen. Noch leichter ersieht man die Rangordnung, wenn man das Koordinatennetz schiefwinkelig anlegt. Das ergibt eine Dreiecksdarstellung, in der man den zeitlichen Verlauf des Ranges einer Mannschaft während der Saison als Weg auf einem kubischen Graphen einzeichnen kann.

K. Mc Kelvie, D. Harding und J. Fellman: Einfache Bedingungen für die Approximation durch die Normalverteilung Die Poisson- bzw. die Binomialverteilung können unter gewissen Bedingungen durch die Normalverteilung angenähert werden. Das sind keine geheimnisvollen Beziehungen, vielmehr können sie elementar aus Überlegungen zur 3?-Regel abgeleitet werden.

H. G. Schönwald: Vom Problem des Chevalier de Méré zur Poisson-Verteilung Ist es von Vorteil auf das Eintreffen wenigstens einer Sechs in 4 Würfen zu setzen? Ist es von Vorteil auf das Eintreffen wenigstens einer Doppel-Sechs in 24 Würfen zu setzen? Dieses Problem von de Méré hat 1654 die Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsrechnung ein gutes Stück weitergebracht. Der Autor zeigt auf, daß im Sinne des Erwartungswertes diese beiden Spiele gleichwertig sind. Er gibt eine Verallgemeinerung des Problems, die direkt zur Poisson-Approximation der Binomialverteilung führt.

Heft 3: Schwerpunktthema 'Abituraufgaben' Autorenkollektiv: Sammlung von Abituraufgaben Lehrer aus der gesamten Bundesrepublik Deutschland haben den Herausgebern Aufgaben zugeschickt. Das Heft enthält 20 Aufgaben für den Grundkurs sowie 43 Aufgaben für den Leistungskurs jeweils ohne Lösungen. Meistens sind die Adressen der Autoren sowie das verwendete Schulbuch angegeben.