Stochastik in der Schule

Kurzfassungen 3. Jahrgang 1983

Heft 1
R. Falk	Das Mittelwertspiel	3-6
A. F. Bissell	Qualitätskontrolle durch Stichproben	7-15
B. Dudley	Untersuchung einer Stichprobenmethode aus der Biologie	16-20
R. Falk	Haben Männer mehr Schwestern als Frauen	21-23
H. K. Strick	Ergänzungen zu: Ein ungewöhnliches Wochenende im Zweitligafußball	24-30
M. Borovcnik	Bestrebungen zur Verbesserung des Statistik-Unterrichts	31-39
Heft 2
L. Hefendehl-Hebeker	Der Begriff 'Ereignis' im Stochastikunterricht	4-16
K. E. Selkirk	Statistik auf dem Kreis	17-25
B. Dudley	Eine Klassenübung zur Verteilung von Pflanzen	26-31
E. Goldstein	Eine stimulierende Simulation	32-37
R. Suich und H. Rutemiller	Flächen unter Regressionskurven	38-45
C. A. Beam	Drehen wir den Spieß um	46-49
Heft 3
S. R. Searle	Die Rekursionsformeln für arithmetische Mittel und Varianzen	5-9
H. Gundel	Bemerkung zu S. R. Searle: Die Rekursionsformeln für arithmetische Mittel und Varianzen	10
A. E. Hart	Die Nicht-Standard-Abweichung	11-18
B. Andelfinger	Umgehen mit dem Zufall - ein Erfahrungsbericht aus dem Unterricht (Klasse 7, Gymnasium)	19-24
D. R. Green	Der Wahrscheinlichkeitsbegriff bei Schülern	25-38
K. Vännman	Wie man Studenten davon überzeugt, daß Schätzgrößen Zufallsgrößen sind	39-47
J. B. Soper	Hilfen für Studenten zum Auffinden der richtigen Formel	48-53
G. König	Überblick über Publikationen zum Stochastikunterricht	54-65

Heft 1 R. Falk: Das Mittelwertspiel Der tiefere Sinn von Mittelwert, Median und Modus wird durch ein Spiel vermittelt. Auf 100 Karten stehen Zahlen zwischen 1 und 100, die sehr ungleichmäßig verteilt sind, die meisten Karten zeigen Zahlen unter 10. Der Schüler erhält 7 Karten, bereits vorher hat er einen Wert vorauszusagen. Eine Kommandokarte besagt, wie sein Verlust bestimmt wird. Etwa kann festgesetzt werden, daß man die absoluten Differenzen zwischen den Kartenwerten und dem vorausgesagten Wert summiert. In diesem Fall minimiert man den Verlust, wenn man genau den Median aller 100 Karten voraussagt. Diese Erkenntnis sollen die Schüler durch wiederholtes Experimentieren erhalten. Es werden 9 Wege zur Bestimmung des Verlustes angegeben, jede hängt mit einer besonderen Kennziffer für die Daten zusammen.

A. F. Bissell: Qualitätskontrolle durch Stichproben Man hat eine Sendung von N identischen Werkstücken zu prüfen. Ist ein bestimmter Ausschußanteil akzeptabel, so kann man sich auf die Prüfung von n Teilen beschränken und die Sendung als schlecht ablehnen, falls eine kritische Zahl von a schlechten Stücken darin überschritten wird. Die Operationscharakteristik ist eine Funktion, die angibt, wie wahrscheinlich es ist, daß das 'Los' in Abhängigkeit von verschiedenen Anteilen an Ausschuß in der gesamten Sendung abgelehnt wird. Durch den Vergleich verschiedener Operationscharakteristiken kann man Eigenschaften der Kontrolle durch Stichproben erörtern. Abschließend wird die Prüfung zweier kleinerer Stichproben hintereinander als Verbesserung vorgestellt, weil man bei eindeutiger Qualitätslage (gut oder schlecht) die Prüfung schon nach der ersten Probe abbrechen kann.

B. Dudley: Untersuchung einer Stichprobenmethode aus der Biologie Bei einer ökologischen Untersuchung eines Planquadrats ist es erforderlich, die Punkte, an denen etwa Bodenproben genommen werden sollen, durch Zufall zu bestimmen, ansonsten kann man die Daten nicht verallgemeinern. Üblich ist, ein Quadrat mit geschlossenen Augen zu werfen. Daß diese Methode Mängel hat, wird anhand eines Experiments in der Klasse gezeigt. Dabei haben Studenten 'zufällig' Punkte auf einem quadratischen Papier zu wählen. Die Untersuchung der Häufigkeiten von gewählten kleinen Quadraten mit dem ?2-Test ergibt eine signifikante Abweichung vom Zufall. Insbesondere wird dies dadurch verursacht, daß der Rand bei der Auswahl systematisch vermieden wird.

R. Falk: Haben Männer mehr Schwestern als Frauen Folgender Fehlschluß ist sehr weit verbreitet: Die Verteilung der Geschlechter innerhalb von Familien ist gleichmäßig. Fragt man nun in einer Klasse nach dem Geschlecht der Geschwister, so sollten Mädchen mehr Brüder angeben, Jungen mehr Schwestern. Dies deshalb, weil das befragte Kind ja aus der Familie weggedacht werden muß. Macht die statistische Unabhängigkeit schon beim Münzwurf Schwierigkeiten, so wird dieses Beispiel wegen der Endlichkeit der Familien mit Abhängigkeiten umgedeutet. Es ist sehr hilfreich, den Fehlschluß mit Daten aus der eigenen und aus anderen Klassen aufzudecken.

H. K. Strick: Ergänzungen zu: Ein ungewöhnliches Wochenende im Zweitligafußball Der Autor geht der Frage nach, ob die Änderung auf drei statt zwei Punkten bei Sieg die Anteile der Unentschieden ändern würde oder nicht. Dann untersucht er ungewöhnliche Spielrunden in der deutschen Bundesliga.

M. Borovcnik: Bestrebungen zur Verbesserung des Statistik-Unterrichts Bericht über die First International Conference on Statistical Education (ICOTS 1) in Sheffield 1982. Neben dem reinen Tagungsbericht wird auf Trends in der Statistik-Didaktik eingegangen: Reale Beispiele und das Anwendungsfach, Statistik im Vergleich zu Wahrscheinlichkeitstheorie, die Methode der Simulation sowie elektronische Hilfsmittel gewinnen an Bedeutung. Moderne Ausrichtungen der Statistik wie Nichtparametrische Statistik oder explorative Datenanalyse haben zum Teil auch schon Eingang in den Unterricht gefunden.

Heft 2 L. Hefendehl-Hebeker: Der Begriff 'Ereignis' im Stochastikunterricht Zur Entwicklung von Stochastik-Kursen gehören auch die Ausbildung einer für den Schulunterricht geeigneten Sprache und systematische Anleitungen zu deren Gebrauch. Die Verfasserin entwirft ein Konzept zur Erarbeitung des Begriffes 'Ereignis', das den Weg vom umgangssprachlichen Verständnis über die fachspezifische Verwendung bis hin zur mengentheoretischen Formalisierung thematisiert.

K. E. Selkirk: Statistik auf dem Kreis Mißt man die Windrichtung oder die Richtung des Zugs von Vögeln mehrfach, so ist die Hauptrichtung eine interessante Größe. Betrachtet man einen periodischen Vorgang, etwa das Unfallgeschehen im Tagesverlauf, so ist Haupttageszeit für Unfälle eine wichtige Größe. Solche Daten haben eines gemeinsam, sie stellen Winkel oder Punkte am Einheitskreis dar. Gewöhnlicher Mittelwert und Standardabweichung führen zum Teil zu unsinnigen Ergebnissen. Es werden analoge Begriffsbildungen für Winkeldaten vorgestellt und erörtert.

B. Dudley: Eine Klassenübung zur Verteilung von Pflanzen In einer Feldstudie war von Schülern die Hypothese zu prüfen, ob Pflanzen in einer Wiese rein zufällig auftreten. Kleine Planquadrate, die sich durch ihren Abstand zu einem Gebüsch unterschieden, wurden auf das Auftreten verschiedenster Kräuter untersucht. Die Daten wurden in einer Matrix Pflanze x Abstand zum Gebüsch als Häkchen notiert. Die Frage ist also, ob die Häkchen zufällig über die Matrix verteilt sind. Die Daten aus der Feldstudie wurden dann mit simulierten Daten verglichen. Der x2-Test bestätigt, daß es besondere Gründe für das Auftreten von Pflanzen geben muß.

E. Goldstein: Eine stimulierende Simulation Der Zerfall einer radioaktiven Substanz wird durch eine Differentialgleichung beschrieben, die ohne weitere Schwierigkeiten auf die Exponentialverteilung zur Beschreibung der Lebensdauer von Atomen führt. Dies kann nur durch ein simuliertes Experiment geprüft werden. Dazu ist es erforderlich, daß exponentialverteilte Daten erzeugt werden. Ein wichtiger Satz aus der Theorie läßt dies mit gleichverteilten Zufallszahlen bewerkstelligen: Ist F die Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariablen, und ist Y auf [0,1] gleichverteilt, so ist X:= F-1(Y) eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion F. Dieser Satz wird plausibel gemacht und zur Simulation genützt.

R. Suich und H. Rutemiller: Flächen unter Regressionskurven Die Autoren bauen auf der Regressionsgeraden auf, um ein praktisches Problem zu lösen, nämlich um zu beurteilen, welcher von zwei PKWs auf 10000 Meilen eine geringere Kohlenmonoxid-Emission hat. Aus den Daten zu den Zeitpunkten 1, 2 usf. bis 10 Tausend Meilen erhält man wie üblich die Regressionsgerade zur Beschreibung der zeitlichen Entwicklung der Emission. Das Gesamtausmaß der Emission erhält man erst aus der Fläche unter der Regressionsgeraden. Für diese Flächen wird ein statistischer Test abgeleitet, der eine Entscheidung erlaubt, ob das Gesamtausmaß der Emission der beiden PKWs unterschiedlich ist oder nicht.

C. A. Beam: Drehen wir den Spieß um Der Erwartungswert einer diskreten Gleichverteilung mit n+1 Punkten wird auf den Erwartungswert einer Gleichverteilung mit n Punkten zurückgeführt. Der Beweis mittels Induktion liefert gleichzeitig auch die Formel für die Summe der Zahlen von 1 bis n aus der Arithmetik.

Heft 3 S. R. Searle: Die Rekursionsformeln für arithmetische Mittel und Varianzen Das Mittel von n+1 Werten kann aus dem gewichteten Mittel von n Werten und dem neu hinzutretenden (n+1)-ten Wert rekursiv bestimmt werden. Eine analoge Rekursion gilt auch für Varianzen. Solche rekursiven Zusammenhänge haben den Vorteil, daß man bei einem neu hinzutretenden Wert nicht sämtliche Berechnungen wiederholen muß und daß die Berechnung nicht so anfällig ist gegen Rundungsfehler.

H. Gundel: Bemerkung zu S. R. Searle: Die Rekursionsformeln für arithmetische Mittel und Varianzen
A. E. Hart: Die Nicht-Standard-Abweichung Die Standardabweichung ist ein recht schwieriger Begriff, Analogien zum Trägheitsmoment etwa helfen nur wenig. Die geschichtliche Entwicklung zeigt, daß es sehr lange gebraucht hat, bis sich die heutige Form durchgesetzt hat. Die Idee der Standardabweichung hat ihren Ursprung im Fehlergesetz bei physikalischen Messungen und ist eng mit der Normalverteilung verknüpft. Eine Zeittafel der geschichtlichen Entwicklung läßt andeuten, wie die Begriffe entstanden sind und wie man dies in den Unterricht einbauen kann.

B. Andelfinger: Umgehen mit dem Zufall - ein Erfahrungsbericht aus dem Unterricht (Klasse 7, Gymnasium) Der Autor berichtet über einen Unterrichtsversuch mit den Zielen: 1. Exploration des Schülerverhaltens in der Begegnung mit dem 'Zufall' und 2. Vermittlung dieses Schülerverhaltens an Referendare durch eigenes Miterleben. Er beschreibt die Schwierigkeiten der Schüler, die Größe der Chance zu bestimmen, obwohl sie die kombinatorischen Möglichkeiten angeben konnten. Das Ergebnis eines Experiments ist ja 'nicht berechenbar'. Der Begriff Wahrscheinlichkeit wird mehr auf Druck des Lehrers hingenommen, er wird jedoch nicht als sinnvolle Beschreibung der Situation angesehen.

D. R. Green: Der Wahrscheinlichkeitsbegriff bei Schülern Bei einer Erhebung an Schülern der Sekundarstufe 1 wurde die Erfassung des Begriffs 'Wahrscheinlichkeit' studiert. Auffallend sind u.a. eine Kritik des Symmetriebegriffes, das Fehlen sprachlicher Fähigkeiten sowie eines hinreichenden Gefühls für die Wahrscheinlichkeit. Ein früher Beginn sowie ausführliche Diskussionen scheinen erforderlich, um das Gespür für Notwendigkeit und Bedeutung der mathematischen Begriffe zu vermitteln.

K. Vännman: Wie man Studenten davon überzeugt, daß Schätzgrößen Zufallsgrößen sind Das Taxiproblem dient als Aufhänger, um in die beurteilende Statistik einzuführen. In einer Stadt gibt es eine unbekannte Zahl N von Taxis. Bei einem Bummel notiert man sich die Nummern der vorbeifahrenden Taxis. Wie erhält man daraus eine Schätzung für N? Verschiedenste Schätzgrößen sind naheliegend. Aus simulierten Beobachtungen werden die Schätzwerte berechnet. An den unterschiedlichen Ergebnissen bei Wiederholung der Simulation ist zu sehen, daß die Schätzwerte, die eine Schätzgröße liefert, streuen. Aus einer größeren Anzahl von Simulationen werden Häufigkeitsverteilungen für die verschiedenen Schätzgrößen erzeugt. Anhand dieser wird auf den Begriff 'Erwartungstreue' hingeführt, und es wird anschaulich gemacht, daß Schätzgrößen mit möglichst kleiner Varianz vorzuziehen sind.

J. B. Soper: Hilfen für Studenten zum Auffinden der richtigen Formel Der Autor meint, daß die Schwierigkeiten in der Statistik hauptsächlich im Analysieren des Aufgabentyps und in der Wahl des Lösungsverfahrens liegen. Er präsentiert ein Flußdiagramm, das den Schülern die Analogien und Unterschiede zwischen den Formeln und Voraussetzungen zeigt und das ihnen bei der Suche nach der Formel für Konfidenzintervalle oder beim Hypothesentesten helfen soll.

G. König: Überblick über Publikationen zum Stochastikunterricht Etwa 50 deutsch- und englischsprachige Veröffentlichungen auf dem Gebiet der Didaktik der Stochastik werden vorgestellt. Dabei soll dem deutschen Leser auch ein Einstieg in die englischsprachige Literatur auf dem Gebiet des Stochastikunterrichts geboten werden. Zuvor erfolgt ein Einstieg in das Thema durch Vorstellung von Zahlenreihen, welche die Vielfalt der Veröffentlichungen auch auf diesem Gebiet andeutet.