Stochastik in der Schule

Kurzfassungen 10. Jahrgang 1990

Heft 1
A. Dunkels	Stengel-Blatt-Diagramme in der Grundschule	4-12
D. Cassel	Was verstehen wir unter dem Erwartungswert	13-19
M. Rouncefield und D. Green	Condorcet's Paradoxon	20-25
G. Schmidt	Modellbilden im Stochastikunterricht. Eine Unterrichtsreihe mit Einsatz des Computers zur Simulation und Veranschaulichung funktionaler Zusammenhänge	26-38
A. Böttcher	Über eine unterhaltsame Alternative zu konventionellen Würfelspielen	39-46
L. Glickman	Cardano - mehr als bloß ein Glücksspieler	47-52
Heft 2
H. Trauerstein	Zur Simulation mit Zufallsziffern im Mathematikunterricht der Sekundarstufe I	2-30
A. Kimber	Gerüchte	31-37
I. H. W. Grant	Rekursive kleinste Quadrate	38-43
N. R. Farnum und R. C. Suich	Schranken für die Stichproben-Standardabweichung	44-50
Heft 3
D. Green	Wie vermeidet man Rundungsfehler?	3-5
Anonym	Eine Aufgabe aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung	6-7
E. Lakoma	Lokale Modelle im Stochastik-Unterricht	8-21
M. Borovcnik	Ein intuitiver Zugang zur bedingten Wahrscheinlichkeit und zur Bayes-Formel	22-35
H. Dabrock	Zur Erarbeitung des empirischen Gesetzes der großen Zahlen im Stochastikunterricht	36-47
W. Krämer	Das Gesetz der abnormalen Zahl	48-52
D. J. Colwell und J. R. Gillett	Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ohne Gedächtnis	53-56
M. Rouncefield und P. Holmes	Schülerexperimente zum Vorzeichentest	57-61

Heft 1 A. Dunkels: Stengel-Blatt-Diagramme in der Grundschule Der Autor zeigt, wie man Stengel-und-Blatt-Diagramme schon im Primarbereich zur Darstellung und Veranschaulichung verwenden kann. Stellenwertsysteme sind sehr abstrakt; mit Stengel-und-Blatt-Diagrammen haben Kinder vielfältige Lernmöglichkeiten. Busfahrpläne und andere Darstellungen haben zunehmend den Charakter eines Stengel-und-Blatt-Diagrammes. Hier kann man Erfahrungen der Kinder strukturieren. Ein Experiment zum Schätzen von Gewichten zeigt, wie man Unterschiede in Gruppen effizient darstellt.

D. Cassel: Was verstehen wir unter dem Erwartungswert Der Autor untersucht, was Schüler unter dem Ausdruck 'Erwartungswert' verstehen und beschreibt Möglichkeiten für eine Einführung im Unterricht.

M. Rouncefield und D. Green: Condorcet's Paradoxon Die Relation 'A gewinnt gegen B' muß nicht transitiv sein, wenn es sich dabei um ein Zufallsexperiment handelt. Dafür gibt es Beispiele mit Würfeln und Kreiseln. Die Autoren geben ein Kreiselmodell zum Nachbauen für den Unterricht und die dazugehörigen Berechnungen an.

G. Schmidt: Modellbilden im Stochastikunterricht. Eine Unterrichtsreihe mit Einsatz des Computers zur Simulation und Veranschaulichung funktionaler Zusammenhänge In einem Projekt in einem Leistungskurs werden die Auswirkungen einer hypothetischen Änderung der Tennisregeln untersucht. Der Computer wird als Werkzeug zur Problemlösung eingesetzt. Es zeigt sich, daß die Schüler auf diese Weise die wesentlichen Schritte der Modellbildung, die Methode der Simulation und die Auswertung funktionaler Abhängigkeiten kritisch würdigen können.

A. Böttcher: Über eine unterhaltsame Alternative zu konventionellen Würfelspielen Das Würfelspiel 'Schweinerei' der Firma Milton Bradley wird für den Unterricht in der Sekundarstufe 2 aufbereitet. Der Autor argumentiert, daß man hier für eine relativ undurchsichtige Spielsituation eine leicht zugängliche Modellbildung finden kann. Neben einer formalen Beschreibung des Spiels wird ein Programm in TURBO PASCAL gegeben.

L. Glickman: Cardano - mehr als bloß ein Glücksspieler Cardanos Beitrag zur Wahrscheinlichkeitsrechnung wird diskutiert, es folgen Vorschläge, wie man seine Untersuchungen in den Unterricht einbauen kann.

Heft 2 H. Trauerstein: Zur Simulation mit Zufallsziffern im Mathematikunterricht der Sekundarstufe I Der Autor führt einige Argumente für den Einsatz der Monte-Carlo-Methode im Mathematikunterricht der Sekundarstufe I an. Nach seiner Meinung sollte die Simulation zunächst anhand von Tabellen mit Zufallszahlen durchgeführt werden und erst im Anschluß daran mit programmierbaren Taschenrechnern oder Kleincomputern. Ausführlich behandelte Beispielaufgaben sollen die Behandlung der Simulation im Unterricht verdeutlichen.

A. Kimber: Gerüchte Der Autor untersucht ein stochastisches Modell zur Verbreitung von Gerüchten oder Neuigkeiten in einer Gemeinschaft. Behandelt wird ein Markov-Prozeß. Im wesentlichen werden elementare Methoden wie Baumdiagramme oder kleine Simulationen eingesetzt. Anwendungen der Statistik auf das soziale Verhalten 'richtiger Menschen' sind für viele Schüler interessanter als die üblichen Beispiele mit Münzen und Würfeln.

I. H. W. Grant: Rekursive kleinste Quadrate Die Berechnung der Parameter der Regressionsgeraden kann mitunter aufwendig werden. Der Autor gibt einen rekursiven Zugang, der erlaubt, aus der bekannten Regressionsgeraden bei n Punkten die neue Lage der Geraden auszurechnen, wenn ein weiterer Datenpunkt hinzukommt. In der Praxis kann das erheblich Zeit sparen, wenn man mehrdimensionale Probleme behandelt.

N. R. Farnum und R. C. Suich: Schranken für die Stichproben-Standardabweichung In der statistischen Qualitätskontrolle überwacht man die Güte des Fertigungsprozesses durch Aufzeichnen der Mittelwerte und Spannweiten laufender Stichproben. Fallen die Aufzeichnungen außerhalb der Kontrollgrenzen, so wird die Produktion unterbrochen, um nach Ursachen zu suchen. Die Variation zwischen den Stichproben ist ein Maß für die erwartete Variation in den Erzeugnissen. Drei verschiedene Schranken für diese Variation werden angegeben, die nur auf die Spannweiten der geprüften Stichproben zurückgreifen. Man kann also durch Vorgabe der Kontrollgrenzen der Spannweite und durch Überwachung der Produktion eine bestimmte, erforderliche Höchstvariation der Produkte garantieren.

Heft 3 D. Green: Wie vermeidet man Rundungsfehler? Wenn man den Fehler des Mittelwerts aus Daten im Auge hat, so sollte man die übliche Regel zum Runden von Zahlen etwas modifizieren.

Anonym: Eine Aufgabe aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung Es geht um die Beurteilung, ob eine bestimme Autonummer ungewöhnlich ist. Dazu muß man erst geeignete Annahmen treffen.

E. Lakoma: Lokale Modelle im Stochastik-Unterricht Für ein und dasselbe stochastische Problem werden verschiedene Modelle ausprobiert, beginnend mit ganz einfachen Ansätzen bis hin zu mathematisch immer anspruchsvolleren Modellen. Die ersten Modelle sind eher lokal begrenzt als universell gültig. Das folgende Beispiel wird behandelt: Zwei Jungen mit gleicher Trefferwahrscheinlichkeit werfen beide abwechselnd auf einen Basketballkorb, bis sie getroffen haben. Haben beide die gleichen Erfolgschancen? Beispiele von Lösungsverfahren, die behandelt werden, sind Simulation, Markoff-Prozeß, Wahrscheinlichkeitsabakus, Mittelwertsregeln, Dualzahl-Methode.

M. Borovcnik: Ein intuitiver Zugang zur bedingten Wahrscheinlichkeit und zur Bayes-Formel Es gibt drei wohlbekannte Interpretationen von Wahrscheinlichkeit, nämlich Wahrscheinlichkeit als relative Häufigkeit, als Anteil an gleich möglichen Ausgängen sowie als Grad der Überzeugung in eine ungewisse Aussage. Im Unterricht jedoch wird die letzte Deutung vernachlässigt, was bei der bedingten Wahrscheinlichkeit zu unnötigen Problemen führt. Der Autor führt das sogenannte 'Odds-Konzept' ein, welches die Deutung von Wahrscheinlichkeit als Grad der Überzeugung unterstützt und zu einem besseren Begriffsverständnis dient. Wahrscheinlichkeit sollte daher als integriertes Konzept mit allen Deutungen aufgebaut werden.

H. Dabrock: Zur Erarbeitung des empirischen Gesetzes der großen Zahlen im Stochastikunterricht Der Autor referiert die gebräuchlichen Zugänge zum empirischen Gesetz der großen Zahlen. Er bespricht methodische und mathematische Unzulänglichkeiten. Er legt dabei besonderes Augenmerk auf die graphische Darstellung des Verhaltens der relativen Häufigkeit.

W. Krämer: Das Gesetz der abnormalen Zahl Nichts fördert so sehr das Interesse an einer Sache wie ein paradoxes Resultat. Es wird eine positive Zufallsvariable mit großem Wertebereich etwa in die Milliarden hinein beobachtet. Man kann z.B. aus der Tageszeitung eine Zahl zufällig auswählen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist deren erste Ziffer eine 1? Spontan antworten viele hier mit 1/9, mit dem folgenden Argument: Für das Favorisieren einer bestimmten Anfangsziffer gibt es keinen Grund - eine ist so wahrscheinlich wie die andere. Dieser Logik widerspricht die Empirie jedoch ganz eklatant. Der Autor gibt ein Experiment dazu, das sich auch im Unterricht leicht wiederholen läßt und gibt eine theoretische Begründung des Ergebnisses.

D. J. Colwell und J. R. Gillett: Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ohne Gedächtnis Der Autor beschreibt ein Phänomen das bei der Exponential-Verteilung auftritt. Bekannt ist es als 'Verteilung ohne Gedächtnis'. Als Lebensdauer aufgefaßt bedeutet das: Die restliche Lebensdauer ab einem bestimmten Zeitpunkt hängt nicht von diesem Zeitpunkt und somit nicht vom Alter ab.

M. Rouncefield und P. Holmes: Schülerexperimente zum Vorzeichentest Die Frage 'Werden Leute mit zunehmender Übung besser?' wird anhand erfrischender Experimente im Unterricht behandelt. An Voraussetzung ist nur die Binomialverteilung nötig. Der Vorzeichentest kann wegen der geringeren Schwierigkeiten im Hinblick auf die erforderlichen Verteilungen auch als Einstieg in die indirekte Schlußweise des Signifikanztests benützt werden.