Teilnehmer:
Heinz Althoff, Rolf Biehler, Manfred Borovcnik, Norbert Christmann, Andreas Eichler, Joachim
Engel, Hans Kilian, Klaus Kombrink, Friedrich Kosswig, Stefan Krauss, Brigitte
Leneke, Petra Lipinski, Laura Martignon, Jörg Meyer, Bernd Neubert, Claudia
Pahl, Peter Rasfeld, Hans-Dieter Sill, Piet van Bloekland, Christoph Wassner,
Elke Warmuth, Dieter Wickmann, Helmut Wirths, Siegfried Zseby
I. Vorträge:
1. Professor Dr.
Manfred Borovcnik (Klagenfurt): Vom
stochastischen Denken zur aktuellen Diskussion um statistisches Denken
2.
Professor Dr. Rolf Biehler (Kassel): Konzepte zum statistischen Denken
3.
Professor Dr. Hans-Dieter Sill (Rostock): Zur Prozessbeobachtung zufälliger Erscheinungen und ihren Konsequenzen
für den Unterricht
4. Professor Dr. Siegfried Zseby (Berlin): Die Rolle von Simulationen
in der Finanzmathematik
5.
PD Dr. Dieter Wickmann (Köln):
Demonstration eines Programms zur Bayes-Statistik
Zu 1) Die
Diskussion der Siebziger Jahre zur Didaktik der Stochastik war ganz deutlich
durch das Schlagwort „Stochastisches
Denken“ gekennzeichnet. Die Neubelebung der Statistik durch Tukey’s
Exploratory Data Analysis hat sich bald auch in der Didaktik ausgewirkt und
führte verstärkt zur Einbeziehung der sogenannten „statistical literacy“ und des „Statistischen
Denkens“, das heute die Didaktik der Stochastik dominiert.
Die Verschiebung im
Interesse der Forschung und des Unterrichts kann knapp umrissen werden als weg
von der Mathematik, der Wahrscheinlichkeit, den Intuitionen, insgesamt dem Verständnis
der internen Welt, und hin zu Anwendungen, Problemen, der Datenanalyse mit
partiellen Antworten, also insgesamt zu einem Verständnis der externen Welt.
Im Vortrag wurde
stochastisches Denken dem statistischen Denken gegenüber gestellt, die Eigenart
beider Denkweisen herausgestellt und der historische Kontext beider Denkweisen
herausgearbeitet. Heitele’s Ansatz zum stochastischen Denken lag ganz nahe an
der Strukturmathematik, ganz im Sinne dessen, dass man mit exakten Begriffen
das Denken schulen und verbessern kann. Borovcnik’s Ansatz dagegen fokussiert
ganz stark auf den Vernetzungen zwischen abstrakten Begriffen und den
Intuitionen, zentral ist der Begriff von Wahrscheinlichkeit als eigener,
eigentümlicher Information. Auch die Rolle von Misconceptions für den
Wahrscheinlichkeitsbegriff wurde ausführlich dargestellt, weil dadurch klar
wird, dass ein didaktischer Ansatz diese direkt miteinbinden muss, wie dies
Fischbein ja auch ausgeführt hat.
Statistisches Denken und der
Ansatz der empirischen Forschung, wie man aus Daten Information ziehen kann,
wurde einerseits durch Tukey populärer, andererseits wurde dieser Ansatz
aufgewertet durch verstärkte Bestrebungen nach einem realitätsnahen Unterricht.
Tatsache ist, das uns Daten mehr und mehr überschwemmen und wir nicht nur für
industrielle Zwecke, auch für die Organisation unserer Gesellschaft und unseres
Alltags mehr und mehr auf die Ausnutzung dieser Daten angewiesen sind, wenn wir
uns Kostenvorteile, Entscheidungsfähigkeit etc. erhalten bzw. verschaffen
wollen. Wie man mit der Variabilität von Daten umgeht, wie man Ursachen für
ihre Schwankung erkennen kann, wie man Ursachen entsprechend beeinflusst und
damit die Schwankungen verringert, wie man trotz Schwankungen von Daten ihre
Ergebnisse verallgemeinert, das sind entscheidende Fragen für ein statistisches
Denken.
Entsprechend hat
statistisches Denken in der jüngeren Diskussion zur Didaktik des Faches immer
mehr Raum eingenommen. Mit den Standards 2000 in den USA hat sich ein
Curriculum etabliert, das diesem Denken, integriert in den allgemeinen
Mathematikunterricht, breiten Raum widmet. Gleichzeitig werden ältere
didaktische Forderungen wie Handlungsorientierung, Problemorientierung etc.
wieder aufgenommen, weil der Prozeß der empirischen Erkenntnisgewinnung nur
wirklich praktisch und exemplarisch unterrichtet werden kann. Statistisches
Denken kann also den Mathematikunterricht ganz im Sinne alter Forderungen
beleben.
Was statistisches Denken ausmacht, und wie es gegenwärtig didaktisch umgesetzt wird, wurde im Vortrag behandelt. Ein Vergleich von stochastischer und statistischer Denkweise rundete die Überlegungen ab. Es bleibt die Frage offen, welchem Denken der Vorzug zu geben ist; wünschenswert wäre, exemplarisch beide Denkstile im Unterricht zu pflegen und zu entwickeln, aber das führt zu einem Zeitproblem. In den gegenwärtigen Ansätzen zum statistischen Denken wird stochastisches Denken im wesentlichen auf den Umgang mit Simulation zurück geführt. Man wird überlegen müssen, wie man dadurch einen wesentlichen Teil stochastischen Denkens doch noch mit hinüberbringen kann an die Lernenden, auch wenn das eigentliche Schwergewicht auf statistisches Denken zu legen sein wird.
Zu 2.) Im Unterschied zu den
Konzepten zu stochastischem Denken, die besonders vor einigen Jahren im
deutschsprachigen Raum diskutiert wurden, wird in der angelsächsisch geprägten
Statistikdidaktik eher von statistischem Denken gesprochen. Die im August 2001
an der University of New England in Armidale, Australien durchgeführte IASE-Tagung
trug den Titel „Statistical Reasoning, Thinking and Literacy“ (SRTL-2).
Vorgestellt wurden empirische Forschungen zum statistischen Denken von
Schülerinnen und Schülern, z.B. in Zusammenhang mit Verteilungen, Vergleich von
Verteilungen, bivariaten Daten und Stichprobenverteilungen. Die Konzepte zum
statistischen Denken waren stark auf die eingeschränkteren Problemstellungen
bezogen, viele Ansätze ließen sich aber auf das Konzept von Wild &
Pfannkuch (1999) beziehen, dass statistisches Denken in den umfassenderen
Prozess wissenschaftlichen Arbeitens in empirischen Wissenschaften bezieht.
Im Vortrag wurden einige Aspekte des
Konzeptes von Wild & Pfannkuch genauer analysiert. Ein wesentlicher Punkt
betrifft die Dispositionen, die notwendig und förderlich für statistisches
Denken sind, die gewissermassen die Prozeßqualität ausmachen. Die Schwierigkeit
besteht darin, dass man zwischen den Rollen des Explorierenden, des kritischen
Theoriebilders, des kritischen Inferenzstatistikers und desjenigen der Ergebnisse
für die Kommunikation aufbereitet, wechseln muss und immer andere Kompetenzen
und Dispositionen gefragt sind. Im Hinblick auf die empirische Untersuchung
statistischen Denkens erlauben Interviews und qualitative Analysen von
transkribierten Problemlöseprozessen solche Denkprozesse zu erfassen. Wichtig ist aber in Interviews zu erkunden,
wieweit die Studierenden an einer statistischen Kultur, an einem statistischen
Diskurs partizipieren können und nicht nur, was sie individuell zu leisten
imstande sind.
Das Umgehen mit variation ist ein Spezifikum statistischen Denkens. Ausgehend von
der These „All variation is caused“ entwickeln Wild & Pfannkuch ein Konzept
zur Verbindung von statistischen und kausalem Denken, in dem multivariate
Denkweisen eine zentrale Rolle spielen. Hier lassen sich Verbindungen zu
anderen Arbeiten herstellen, die auch die starre Gegenüberstellung von
stochastischen und kausal-deterministischem Denken für unfruchtbar halten
(Steinbring 1980, Sill 1992, Biehler 1994).
Literatur:
Biehler,
R. (1994). Probabilistic thinking, statistical reasoning, and the search for
causes - Do we need a probabilistic revolution after we have taught data
analysis? In J. Garfield (ed.), Research Papers from ICOTS 4, Marrakech 1994
Minneapolis: University of Minnesota.
Biehler, R. (1999)
Discussion: Learning to think statistically and to cope with variation.
International Statistical Review, 67., 259-262
Sill, H.-D. (1992). Zum
Verhältnis von stochastischen und statistischen Betrachtungen. In Beiträge zum
Mathematikunterricht 1992 (S. 443-446). Hildesheim: Franzbecker.
Steinbring, H. (1980). Zur
Entwicklung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs - Das Anwendungsproblem in der
Wahrscheinlichkeitstheorie aus didaktischer Sicht. IDM Materialien und Studien
Band 18. Bielefeld: Universität Bielefeld, Institut für Didaktik der
Mathematik.
Wild, C. J. & Pfannkuch,
M. (1999). Statistical thinking in empirical enquiry. (with discussion)
International Statistical Review, 67., 223-265
Zu 3.) In seinem Vortag
"Zur Prozessbetrachtung zufälliger Erscheinungen und ihren Konsequenzen
für den Unterricht" stellte Hans-Dieter Sill, Rostock, eine Methode zur
Analyse zufälliger Erscheinungen vor, die er in den 80er Jahren entwickelt und
in mehreren Forschungsarbeiten sowie im Rahmen einer Lehrbuchentwicklung
erprobt und weitergeführt hat. Die Grundidee besteht darin, nicht nur die
Ergebnisse zufälliger Erscheinungen sondern auch die Prozesse, in deren Verlauf
sie entstanden sind, zu betrachten. Mit dieser, bereits für Schüler der Primarstufe
verständlichen Betrachtungsweise, können u.a. die zufälligen Erscheinungen, die
im Rahmen der Wahrscheinlichkeitsrechnung bzw. der Statistik Gegenstand des
Unterrichts sind, mit der gleichen Methode untersucht werden, die verschiedenen
Aspekte des Wahrscheinlichkeitsbegriffes sind einordbar, es ergibt sich ein
bessere Zugang zur Analyse mehrstufiger Zufallsexperimente und die Schüler
werden bei der Datenanalyse auf die Betrachtung von Bedingungen, Ursachen und
Zusammenhängen orientiert.
Zu 4.) Zu 4.) In
Siegfried Zseby’s Vortrag basiert auf zwei zentralen Überlegungen: 1.Simulation als neue Methode komplexe stochastische Zusammenhänge
zu analysieren 2.Finanzmathematik als neuer Inhalt des Mathematikunterrichts
Die Modelle des Finanzmanagements beschreiben
drei Phänomene (DRK-Modell):
Dynamik: 1000 € in bar -> 1200 € in 3 Jahren
Risiko: Festzins-Anlage -> Anlage in Aktien
Korrelationen: Aktie -> Portfolio
Eine analytische Behandlung ist nur in
relativ einfachen Spezialfällen möglich. In der Praxis ist häufig die
Simulation an Stelle von unrealistischen Vereinfachungen die sinnvollere Alternative. Im Unterricht tritt die
Simulation sogar bei relativ einfachen Aufgaben durchaus in Konkurrenz zum analytischen
Vorgehen, da sie als spielerische Variante zumeist anschaulicher und in der
Regel motivierender ist. Bei vielen Problemen der Stochastik - dem
Geburtstagsparadoxon, der Capture-Recapture-Methode, dem 3-Türen-Problem - ist
die Simulation vielleicht nicht die elegantere, sicher aber die überzeugendere
Methode.
Als inhaltliche Erweiterung liefert die Finanzmathematik für den Mathematikunterricht interessantes Material. Exemplarisch seien genannt:
1.
die Bewertung von Optionen (Black-Scholes-Formel)
2.
Risikomanagement durch Diversifikation (Portfoliotheorie von
Markowitz/Tobin)
Da beide Theorien mit Nobelpreisen belohnt
wurden, möchte man vermuten, dass es sich dabei nicht unbedingt um Mathematik
auf Schulniveau handelt. Und doch findet sich darin ein enormes Potential an
(ökonomischen und) mathematischen Einsichten, die sich durch relativ einfache
Überlegungen gewinnen lassen. Allein die Fragestellung, durch welchen
Zufallsprozess man den Kursverlauf einer Aktie modellieren soll, um ihn dann zu
simulieren, bildet eine anregende Ausgangssituation. Alle Simulationen wurden
mit Excel durchgeführt.
Zu 5.) Ein
Vergleich von klassischen und Bayesschen Ansätzen in der Beurteilenden
Statistik war das Thema der Herbsttagung des AK vor zwei Jahren. Eines der
praktischen Probleme des Bayesschen Ansatzes liegt in technischen
Schwierigkeiten bei der Berechnung der posteriori Verteilung aus der priori
Verteilung und den beobachteten Daten. In vielen Fällen kann im stetigen Fall
ohne technisch aufwendige numerische Integrationsprozeduren die
Posteriori-Verteilung nur für konjugierte Verteilungsfamilien ermittelt werden.
Herr Wickmann hat uns ein von ihm entwickeltes auf DERIVE aufgebautes
Computerprogramm vorgestellt, das für weitgehend beliebig gewählte Modelle die
Posteriori-Verteilung errechnet. Die Eingabe der Priori-Verteilung kann dabei
wahlweise graphisch oder numerisch erfolgen. Für praktische Berechnungen
schließt das Programm eine wichtige Lücke im Unterrichten von Beurteilender
Statistik nach dem Bayes-Ansatzes. Dank des Computers entfällt der Mathematische
Kalkül und erlaubt den Lernenden, sich auf das Inhaltliche Verstehen zu
konzentrieren.
Angeregt durch die AK-Tagung 2000 über die NCTM-Standards und die Relevanz statistischen Denkens für die schulische Bildung will der AK ein Positionspapier zum Stochastikunterricht für alle Schularten und alle Klassen 1 – 13 erstellen, in dessen Mittelpunkt die Erlangung von Datenkompetenz (d.h. Daten erheben, darstellen, interpretieren, analysieren sowie begründete Schlussfolgerungen aus Daten ziehen) steht.
Eine Analyse der Lehrpläne aller Schulstufen und Schultypen in allen Bundesländern, die als Vorarbeit durchgeführt wurde, zeigte drastische Unterschiede zwischen den Bundesländern im Hinblick auf die Behandlung stochastischer Themen. Trotz erheblicher Unterschiede sowohl im Umfang wie auch in den Inhalten weisen im Hinblick auf die von uns geforderte Inhalte alle Lehrpläne Mängel auf. Angesichts der Tatsache, dass in fast allen Bundesländern innerhalb der nächsten 3 Jahre eine Revision der Lehrpläne ansteht, halten wir die Erarbeitung einer Stellungnahme für sehr dringlich. Mitglieder des Arbeitskreises werden auch beratend oder impulsgebend für den Prozess der Curriculumrevision zur Verfügung stehen.
Ein erster Entwurf einer Stellungnahme des Arbeitskreises wurde von
einer Arbeitsgruppe bestehend aus Herrn Sill, Frau Warmuth und Herrn Neubert
vorbereitet. Der Entwurf wurde diskutiert, das weitere Vorgehen wurde
beschlossen und es wurden Arbeitsaufträge verteilt, um einzelne Themen weiter
zu vertiefen und zu erläutern.
1. Phase (bis 10. Januar 2002): Vertiefung und interne Diskussion des Papiers Die
Erstfassung der Stellungnahme wird allen AK-Mitgliedern über den BSCW-Server in
Ludwigsburg zugänglich gemacht. Zur vertieften Kommentierung, Präzisierung und
Diskussion einzelner thematischer Abschnitte sind auf der AK-Sitzung in Kassel
Arbeitsaufträge an einzelne AK-Mitglieder verteilt worden. Alle AK-Mitglieder
sind zur kritischen Lektüre und zu Kommentaren aufgefordert.
2. Phase (bis 25. Februar
2002): Zusammenfassung und Einarbeitung
der Beiträge. Es wird eine überarbeitete Vorlage des Papiers erstellt,
über die als Diskussionspapier des Arbeitskreises auf der AK-Sitzung während
der GDM-Tagung in Klagenfurt abgestimmt wird.
3. Phase (bis 1. Oktober 2002): Vertiefung und öffentliche
Diskussion Es werden gezielt dem AK nicht
angehörige Experten in die Diskussion einbezogen und zur Stellungnahme
aufgefordert. Die Stellungnahme wird als Diskussionspapier öffentlich
zugänglich ins Internet gestellt werden, so dass die gesamte Community, der
Mathematikdidaktik (insbesondere auch Lehrer und Kollegen aus der GDM)
Kommentare und Diskussionsbeiträge abgeben kann.
4.
Phase (bis 1. November): Abschließende Formulierung der Stellungnahme
5. Phase (November
2002): Beschlussfassung über die Stellungnahme des AK.
Tagesordnung:
1. Herbsttagung 2002 des Arbeitskreises
Themenvorschläge:
1.
Stochastik in den Naturwissenschaften (Förderung fächerübergreifender
Kompetenzen): 3 Stimmen
2.
Risikoabschätzung, Interpretation von Daten in den Medien: 15 Stimmen
3.
Neue Medien und Stochastiklernen
(Simulationen, Programmpakete, Applets & Internet,
Datenkompetenz):16 Stimmen
Ort: Dortmund (18), Kassel (11), Klagenfurt
(1), Ludwigsburg (7) , Soest (4)
Damit wurde als Thema gewählt
Die Tagung wird in Dortmund stattfinden. Die
lokale Organisation liegt in den Händen von Herrn Kilian. Herr Professor Walter
Krämer wird wegen eines Vortrags für Freitag abend angefragt. Außerdem werden
Mitarbeiter des SFB über computationsal statistics der Uni Dortmund zur Tagung
eingeladen.
Termin: 8.-10. November 2002 (Beginn Freitag
14.00, Ende: Sonntag 12.00)
Ausweichtermin: 15.-17. Nov. 2002
2. International Association of Statistics Education
IASE ist eine weltweite Vereinigung von Statistik-Didaktikern, die nur
sehr wenige Mitglieder im deutschsprachigen Ländern hat. IASE ist Organisator
der alle vier Jahre stattfindenden ICOTS-Tagungen (International Conference of
Teaching Statistics) Eine Mitgliedschaft (jährl. Beitrag: 24 € Euro) ermöglicht
Teilnahme an internationalen Diskussionsprozessen, Information über jüngere
Forschungsarbeiten, Bezug von Newslettern und reduziertes Abonnement von
International Statistical Review. Weitere Informationen sowie ein
Anmeldeformular wird an die Mitglieder des AK verschickt, sowie im WWW unter
www.cbs.nl/isi/iase.htm.
3. ISI meeting in Berlin 2003
Das International Statistical Institut ist eine große Dachorganisation
von Statistikern (IASE ist die Unterorganisation für Didaktik). ISI
veranstaltet alle zwei Jahre sehr große Kongreße (1999 in Helsinki, 2001 in
Seoul). Im Jahre 2003 findet der Kongress in Berlin statt. Geplant sind schon
jetzt sieben invited Sessions zur Didaktik der Statistik, auf denen renommierte
internationale Experten vortragen
werden. Hinzu kommen contributed paper sessions, zu denen Konferenzteilnehmer
Vorträge anmelden können. Weitere Infos unter http://ww.isi-2003.de.
4. Homepage des AK
Die neue Adresse lautet: http://www.uni-klu.ac.at/ak-stochastik
AK-Mitglieder, die auf Ihrer eigenen Homepage interessante
Informationen zur Didaktik der Stochastik haben, können sich einen Link von der
Homepage des AK aus setzen lassen.
Joachim Engel, 21. November 2001